1、限时练3(时间:45分钟,满分:80分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022山东临沂一模)设集合A=x|x1,B=x|x2,则AB=()A.B.x|12D.R2.(2022广东汕头二模)已知复数z满足(1-i)z=1+i(i是虚数单位),则z2 022的值为()A.-2 022B.1C.-1D.2 0223. (2022山东烟台二中模拟)“学习强国”APP是以深入学习、宣传习近平新时代中国特色社会主义思想,立足全体党员,面向全社会的优质学习平台.为了解甲、乙两人的平台学习情况,统计了他们最近7天的学习积分,制成如图所
2、示的茎叶图,若中间一列的数字表示积分的十位数,两边的数字表示积分的个位数,则在这7天中,下列结论正确的是()A.甲、乙两人积分的极差相等B.甲、乙两人积分的平均数不相等C.甲、乙两人积分的中位数相等D.甲积分的方差大于乙积分的方差4.(2022河北沧州二模)x-2x-15的展开式中的常数项为()A.-81B.-80C.80D.1615.(2022辽宁辽阳二模)已知为了破解某密码,在最坏的情况下,需要进行2512次运算.现在有一台计算机,每秒能进行2.51014次运算,那么在最坏的情况下,这台计算机破译该密码所需的时间大约为(参考数据lg 20.3,5101.58)()A.3.1610139秒B
3、.1.5810139秒C.1.5810140秒D.3.1610140秒6.(2022山东菏泽一模)对于函数f(x)=(sin x+cos x)2+3cos 2x,有下列结论:最小正周期为,最大值为3,单调递减区间为12+k,712+k(kZ),对称中心为-6+k,0(kZ),其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.47. (2022广东惠州模拟)如图,神舟十二号的飞行轨道是以地球球心为左焦点的椭圆(图中虚线),我们把飞行轨道上的点与地球表面上的点的最近距离叫近地距离,最远距离叫远地距离.设地球半径为r,若神舟十二号飞行轨道的近地距离是r30,远地距离是r15,则神舟十二号的飞行轨道的离心率为
4、()A.1063B.263C.160D.1638.已知函数f(x)=ex21+lnx,则不等式f(x)ex的解集为()A.(0,1)B.1e,1C.(1,e)D.(1,+)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2022山东烟台一模)甲罐中有3个红球、2个黑球,乙罐中有2个红球、2个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”,再从乙罐中随机取出一球,以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”,则()A.P(A)=35B.P(B|A)=25C.P(B)=1325D
5、.P(A|B)=91310.(2022河北保定一模)已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=1,a2=2,an+1=4an-3an-1,则下列说法正确的是()A.数列an+1-an为等比数列B.数列an+1-3an为等差数列C.an=3n-1+1D.Sn=3n-14+n211.(2022山东淄博三模)已知定义在R上的偶函数f(x),满足f(x)+f(2-x)=2,则下列结论正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=1对称B.f(x+4)=f(x)C.若函数f(x)在区间0,1上单调递增,则f(x)在区间2 021,2 022上单调递增D.若函数f(x)在区间(0,1)上的解析式为f(x)=l
6、n x+1,则f(x)在区间(2,3)上的解析式为f(x)=ln(x-1)+112. (2022河北唐山二模)双曲线具有如下光学性质:如图F1,F2是双曲线的左、右焦点,从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P,经双曲线反射后,反射光线n的反向延长线过左焦点F1.若双曲线C的方程为x29-y216=1,下列结论正确的是()A.若mn,则|PF1|PF2|=16B.当n过Q(7,5)时,光由F2PQ所经过的路程为13C.射线n所在直线的斜率为k,则|k|0,43D.若T(1,0),直线PT与C相切,则|PF2|=12三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.圆C1:x2+y2-2x
7、-6y-1=0和圆C2:x2+y2-10x-12y+45=0的公共弦长为.14.为了测量某个瀑布的实际高度,某同学设计了如下测量方案:有一段水平山道,且山道与瀑布不在同一平面内,瀑布底端与山道在同一平面内,可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直,在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为32,沿山道继续走20 m,抵达B点位置,测得瀑布顶端的仰角为3.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为3,则该瀑布的高度约为m.15.(2022浙江17)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2A8的边A1A2上,则PA12+PA22+PA82的取值范围是.16.(2022山东潍坊模拟
8、)如图,将正四面体每条棱三等分,截去顶角所在的小正四面体,余下的多面体就成为一个半正多面体,亦称“阿基米德体”.点A,B,M是该多面体的三个顶点,N是该多面体外接球表面上的动点,且总满足MNAB,若AB=4,则该多面体的表面积为,点N的轨迹长度为.限时练31.D解析 因为A=x|x1,B=x|x2,所以AB=R.2.C解析 由已知可得z=1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=i,因此z2 022=(i2)1 011=(-1)1 011=-1.3.B解析 甲的极差为54-24=30,乙的极差为55-22=33,极差不相等,故A错误;甲的平均数为24+38+41+44+46+47
9、+547=42,乙的平均数为22+35+38+43+46+48+557=41,平均数不相等,故B正确;甲的中位数为44,乙的中位数为43,中位数不相等,故C错误;由茎叶图知,甲数据较乙数据更集中,故甲积分的方差小于乙积分的方差,故D错误.4.A解析 x-2x-15=x-2x-1x-2x-1x-2x-1x-2x-1x-2x-1,所以展开式中的常数项为(-1)5+C51C41(-2)(-1)3+C52C32(-2)2(-1)=-81.5.B解析 设在最坏的情况下,这台计算机破译该密码所需的时间为x秒,则x=25122.51014,得lg x=lg25122.51014=lg 2512-lg(2.5
10、1014)=512lg 2-(lg 25+13)=512lg 2-(2lg 5+13)=512lg 2-2(1-lg 2)-13=514lg 2-15139.2,所以x10139.2=10139100.21.5810139.6.C解析 f(x)=(sin x+cos x)2+3cos 2x=sin2x+cos2x+2sin xcos x+3cos 2x=1+sin 2x+3cos 2x=1+2sin2x+3.最小正周期T=22=,故正确;当2x+3=2+2k,kZ时,f(x)max=3,故正确;令2+2k2x+332+2k,kZ,解得12+kx712+k,kZ,因此单调递减区间为12+k,71
11、2+k(kZ),故正确;令2x+3=k,kZ,解得x=-6+k2,kZ,此时f(x)=1,故错误.7. D解析 以运行轨道长轴所在直线为x轴,地心F为左焦点建立如图所示的平面直角坐标系,设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),其中a2=b2+c2,根据题意有a-c=r+130r=3130r,a+c=r+115r=1615r,所以2a=6330r,2c=130r,所以椭圆的离心率e=ca=2c2a=163.8.B解析 函数f(x)=ex21+lnx,则f(x)exex21+lnxexe1+lnx1+lnxexx,因为x0,所以不等式f(x)ex成立必有1+ln x0,即x1e.令g(
12、x)=exx,求导得g(x)=ex(x-1)x2,当x1时,g(x)1时,g(x)0,因此,函数g(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.又f(x)exg(1+ln x)g(x),当x=1时,显然不成立;当x1时,ln x+11,于是得1+ln xx,即1+ln x-x0,令h(x)=1+ln x-x,x1,h(x)=1x-11,h(x)x无解;当x1时,ln x+11,于是得1+ln xx,即1+ln x-x0,令t(x)=1+ln x-x,0x0,函数t(x)在(0,1)上单调递增,0x1,t(x)t(1)=0,不等式1+ln xex的解集为1e,1.9.ACD解析 因为甲罐
13、中有3个红球、2个黑球,所以P(A)=35,故A正确;因为P(B)=3535+2525=1325,故C正确;因为P(AB)=3535=925,所以P(A|B)=P(AB)P(B)=9251325=913,故D正确;因为P(B|A)=P(AB)P(A)=92535=35,故B不正确.故选ACD.10.ABD解析 an+1=4an-3an-1an+1+kan=(k+4)an-3an-1=(k+4)an-3k+4an-1,令k=-3k+4k2+4k+3=0k=-1或k=-3,所以可得an+1-an=3(an-an-1)或an+1-3an=an-3an-1,所以数列an+1-an是公比为3的等比数列,
14、数列an+1-3an是公差为0的等差数列,故A,B正确;an+1-an=13n-1,an+1-3an=-1,解得an=3n-1+12,故C错误;Sn=a1+a2+an=30+12+31+12+3n-1+12=12(30+31+3n-1)+n2=121-3n1-3+n2=3n-14+n2,故D正确.11.BC解析 因为f(x)+f(2-x)=2,所以函数f(x)的图象关于点(1,1)对称,故A错误;又函数f(x)为偶函数,所以4是f(x)的一个周期,所以f(x+4)=f(x),故B正确;若函数f(x)在区间0,1上单调递增,则f(x)在区间1,2上单调递增,又因为f(x+4)=f(x),所以f(
15、x)在2 021,2 022上单调递增,故C正确;当x(2,3)时,x-2(0,1),所以f(x)=2-f(2-x)=2-f(x-2)=2-ln(x-2)+1=1-ln(x-2),故D错误.故选BC.12.CD解析 对于A,若mn,则F1PF2=90,因为点P在双曲线右支上,所以|F1P|-|F2P|=6,由勾股定理得|F1P|2+|F2P|2=|F1F2|2,二者联立解得|PF1|PF2|=|F1F2|2-(|F1P|-|F2P|)22=100-362=32,故A错误;对于B,光由F2PQ所经过的路程为|F2P|+|PQ|=|F1P|-2a+|PQ|=|F1Q|-2a=(7+5)2+(5-0
16、)2-6=7,故B错误;对于C,双曲线x29-y216=1的渐近线方程为y=43x,当m与F2F1同向共线时,反射光线n所在的直线为x轴,此时k=0,|k|最小,因为P在双曲线右支上,所以|k|0),联立y=k(x-1),x29-y216=1,消去y可得(16-9k2)x2+18k2x-9k2-144=0,其中=(18k2)2-4(16-9k2)(-9k2-144)=0,即1 152k2=2 304,解得k=2,代入(16-9k2)x2+18k2x-9k2-144=0,得-2x2+36x-162=0,解得x=9,代入双曲线方程,即929-y216=1,解得y=82(y=-82舍去),所以P(9
17、,82),所以|PF2|=(9-5)2+(82-0)2=12,故D正确.13.27解析 圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0,即C1:(x-1)2+(y-3)2=11,所以圆心C1(1,3),半径r=11.两圆方程相减得8x+6y-46=0,即公共弦方程为4x+3y-23=0.圆心C1到直线4x+3y-23=0的距离d=|41+33-23|42+32=2,所以公共弦长l=2r2-d2=27.14. 60解析 如图,设瀑布顶端为P,底端为H,瀑布高为h,该同学第一次测量时所处的位置为A,第二次测量时的位置为B.由题意可知,tanPAH=32,AB=20 m,且PBH=BAH=3,所以AH=23
18、h,BH=33h.在ABH中,由余弦定理可知,BH2=AH2+AB2-2ABAHcosBAH,即13h2=49h2+400-4023h12,解得h=60 m.15.12+22,16解析 如图,以圆心为原点,A3A7所在直线为x轴,A1A5所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A1(0,1),A2-22,22,A3(-1,0),A4-22,-22,A5(0,-1),A622,-22,A7(1,0),A822,22.设P(x,y),则PA12+PA22+PA82=8(x2+y2)+8.因为cos 22.5|OP|1,所以1+cos452x2+y21,故所求取值范围为12+22,16.16.11236
19、2解析 根据题意,点A,B,M分别是正四面体的棱的三等分点,该正四面体的棱长为3AB=12,该正四面体的表面积为4121212sin 60=1443,截去的每个小正四面体的侧面积为31244sin 60=123,底面积为1244sin 60=43,所以该多面体的表面积为1443-4123+443=1123.如图,设点H为该多面体的一个顶点,F为正四面体的一个顶点,则HF=MF=8,BF=4.在HBF中,HB2=HF2+BF2-2HFBFcos 60=64+16-28412=48,则HB=43,所以HB2+BF2=HF2,所以HBBF,即HBAB,同理MBAB.又MBHB=B,所以AB平面HBM.因为N是该多面体外接球表面上的动点,由题可知,正四面体与半正多面体的外接球的球心相同,且总满足MNAB,所以点N的轨迹是HBM的外接圆.BH=BM=43,MH=2312=8,在HBM中,由余弦定理得cosHBM=HB2+MB2-HM22HBMB=48+48-6424343=13,所以sinHBM=1-cos2HBM=1-132=223.设HBM的外接圆的半径为r,由正弦定理得2r=MHsinHBM=8223=62,
