1、数 学 试 题（理）一、单选题（每小题5分，共60分）1设集合，则（ ）ABCD2已知等差数列,若,则的前7项的和是( )A112B51C28D183中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）A174斤B184斤C191斤D201斤4在中，是为锐角三角形的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5等比数列中，则（ ）ABCD6已知等比数列的前n项和为，且，则=（ ）.
2、A90B125C155D1807已知，则（ ）ABCD8下列有关命题的说法正确的是( )A命题“若，则”的否命题为：“若，则”B若为真命题，则均为真命题.C命题“存在，使得” 的否定是：“对任意，均有”D命题“若，则”的逆否命题为真命题9将函数()图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线对称，则函数在上的值域是（ ）ABCD10设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是ABCD11已知数列的通项公式是，其中 的部分图像如图所示，为数列的前n项和，则的值为（ ）A1B0CD12已知函数(且)的图象上关于轴对称的点至少有对，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、填空
3、题（每小题5分，共20分）13若，则_14若特称命题：“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是_.15已知定义在上的奇函数满足，且当时，则_16设定义域为的函数满足，则不等式的解集为_三、解答题17已知函数.（1）求函数在时的取值范围；（2）若，是第二象限角，求的值.18若数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，角的平分线交于点，求的面积.20已知是等差数列，数列满足，且是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和，并判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21
4、如图，在三棱柱中，底面，是边长为2的正三角形，D，E分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.22设函数（1）当时，求证：；（2）如果恒成立，求实数的最小值答案1B【解析】【分析】利用对数的定义以及单调性求出集合，解一元二次不等式求出集合，再根据集合的并运算即可求解.【详解】，所以.故选：B2C【解析】【分析】利用等差数列通项公式可得,解出和,再由等差数列的求和公式求解即可【详解】由题,解得,则,故选：C3B【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，解得选B4B【解析】若B为钝角，A为锐角，则sinA0，cosBc
5、osB，但ABC为锐角三角形不成立，充分性不成立；若ABC为锐角三角形，则都是锐角，即,即,则，即，必要性成立；故“”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.本题选择B选项.5B【解析】【分析】直接利用等比数列公式计算得到答案.【详解】等比数列中，解得，.故选：B.6C【分析】由等比数列的性质，成等比数列，即可求得，再得出答案.【详解】因为等比数列的前项和为，根据性质所以成等比数列，因为，所以，故故选C7B【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值.【详解】.故选：B.8D【解析】【分析】【详解】试题分析：A利用否命题的定义即可判断出；B利用“或”命题的定义可知：若pq为真命题，则p
6、与q至少有一个为真命题；C利用命题的否定即可判断出；D由于命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，即可判断出解：对于A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x21，则x1”，因此不正确；对于B若pq为真命题，则p与q至少有一个为真命题，因此不正确；对于C“存在xR，使得x2+x+10”的否定是：“对任意xR，均有x2+x+10”，因此不正确对于D由于命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确故选D考点：命题的真假判断与应用9D【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，正弦函数的值域，求得结果
7、.【详解】解：把函数()图象向右平移个单位长度后，可得的图象；再根据得到函数的图象关于直线对称，由于，函数.在上，故，即的值域是，故选：D.【点睛】本题考查求三角函数的值域，考查三角函数的图象变换，对称性，正弦函数的值域考查知识点较多，难度不大，属于中档题10B【解析】【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决【详解】时，即右移1个单位，图像变为原来的2倍如图所示：当时，令，整理得：，（舍），时，成立，即，故选B【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函
8、数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力11D【解析】【分析】根据图像得到，计算每个周期和为0，故，计算得到答案.【详解】，故，故，故，故当时满足条件，故，所以，所以数列是以6为周期的周期数列.，每个周期和为0，故.故选：.【点睛】本题考查了数列和三角函数的综合应用，意在考查学生计算能力和综合应用能力，属于中档题.12A【解析】【分析】先求出与函数在上关于y轴对称的，设，转化条件为函数、的图象至少有三个交点，数形结合即可得解.【详解】因为当时，所以函数的图象与函数在上的图象关于y轴对称，设，若要使函数的图象上关于轴对称的点至少有对，则函数、的图象至少有三个交点，在同一直
9、角坐标系中，画出函数、的图象，如图，由图象可得，若要使两函数的图象有至少三个交点，则且，即，解得.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的变换及对数函数、三角函数图象的应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.13【解析】【分析】分别解出集合，再根据交集的定义求解.【详解】即.【点睛】本题考查集合的运算.指对幂的等式不等式要化为同底或同指数来解.14【解析】【分析】由全称命题：“，成立”是真命题，将问题转化为不等式恒成立，再分情况讨论即可.【详解】此题等价为全称命题：“，成立”是真命题.当时，原不等式化为“”，显然成立；当时，只需即解得.综合，得.故答案为：.【点睛】本题主要考查已知特
10、称命题的真假求参数的取值范围问题，属常规考题.15【解析】【分析】根据定义在上的奇函数：，解出,由知道函数关于对称，结合奇函数得到函数为以为周期的周期函数.利用周期性化简解出.【详解】因为为定义在上的奇函数.所以,即，又，即函数关于对称,又关于原点对称,所以函数为以为周期的周期函数.所以故答案为:.【点睛】本题考查函数的周期性，属于中档题.解本题的关键在于能够利用轴对称与点对称得到函数的周期性.16【解析】【分析】根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论【详解】设F（x），则F（x），F（x）0，即函数F（x）在定义域上单调递增，即F（x）F（2x），即x1不等式的
11、解为故答案为【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键17（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先将函数化简得，然后根据正弦函数的性质可得出答案.(2)由条件可得sin，进一步得出cos的值，再利用二倍角公式和余弦的和角公式得出答案.【详解】(1)f(x)sin2x2cosx(cosx)sin2x2cos2xsin2xcos2x12sin1又，的取值范围为. (2)2sin1，sin.是第二象限角，cos. sin2，cos2.coscos2cossin2sin.【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，考查同角三角函数的关系和二倍角公式以及余弦的和角公式的应用，属
12、于中档题.18（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得.【详解】（1）当时，当时，两式相减得，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（2）由（1）得，所以，两式相减得.所以【点睛】本小题主要考查已知求，考查错位相减求和法，属于中档题.19（1）（2）【解析】【分析】（1）把已知条件中角的关系化为边的关系后可用余弦定理求角；（2）在（1）基础上得，从而由可得，在中应用正弦定理可求得，从而可得面积【详解】（1）由及正弦定理知， 又，由余弦定理得.，.（2）由（1）知， 又，在中，由正弦定理知：，在中，由正弦定理及，解得， 故.【点睛】本题考
13、查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解题时注意边角关系的互化20（1）；（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式可求出；利用等比数列的通项公式可求出. （2）写出，再利用分组求和法即可求解.【详解】解：（1）因为，所以，得所以，且，得所以，进而（2），所以，（或，）因为，数列是递增数列，且，所以，不存在正整数，使得.21（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质可得，再由，根据线面垂直的判定定理即可证出.（2）以为原点，以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量， 平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】解：（1）证明：在
14、三棱柱中，因为底面，平面，所以.又为等边三角形，D为的中点，所以.因为，所以平面.（2）解：取中点F，连结，则因为D，F分别为，的中点，所以.由（1）知，如图建立空间直角坐标系，由题意得，设平面的法向量，则，令，则.平面法向量.因为.22（）见解析； （）1.【解析】【分析】（）求得 ，利用导数证明 在区间上单调递增， 从而可得；（）讨论三种情况：当时，由（）知符合题意；当时，因为，先证明在区间上单调递增，可得符合题意；当时，存在唯一使得，任意时，不合题意，综合即可得结果.【详解】（）因为，所以 . 当时，恒成立，所以 在区间上单调递增， 所以. （）因为，所以. 当时，由（）知，对恒成立； 当时，因为，所以.因此在区间上单调递增，所以对恒成立； 当时，令，则，因为，所以恒成立，因此在区间上单调递增， 且，所以存在唯一使得，即.所以任意时，所以在上单调递减.所以，不合题意. 综上可知，的最小值为1.
