1、阶段性测试题九(立体几何)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(文)(2014辽宁师大附中期中)已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题若mn，m，则n若m，m，则若m，mn，n，则若m，n，则mn其中正确命题的个数是()A0个B1个C2个D3个答案D解析由线面垂直的性质知正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；由m，mn知n，又n，正确；如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD与平面
2、ADD1A1分别为、，CC1为m，则m，n，但m与n不平行，错，故选D(理)(2014浙江台州中学期中)设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题若ab，a，则b若a，则aa，则a若ab，a，b，则其中正确的命题的个数是()A0个B1个C2个D3个答案B解析中可能有b；中a，或a，a与斜交，a，都有可能；中可能有a；若ab，a，则b或b，又b，正确，故选B2(2014山东省博兴二中质检)设m、n是两条不同直线，、是两个不同的平面，下列命题正确的是()Am，n且，则mnBm，n且，则mnCm，n，mn，则Dm，n，m，n，则答案B解析设m与n相交，m、n都在平面内，时，满足A的
3、条件，A错；若m，则m或m，又n，nm，B正确；若m，mn，则n或n，结合n得不出，故C错；当mn且满足D的条件时，得不出，故D错3(2015河南八校联考)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()ABC4D2答案A解析由三视图知该几何体为三棱锥，底面是等腰三角形，其底长为2，高为1，棱锥高为，顶点在底面射影为等腰直角三角形底边的中点D，直观图如图，BDAC，PD平面ABC，DADBDC1，故球心O在PD上，设OPR，则(R)212R2，R.S球4R2.4(文)(2014吉林市摸底)下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于()A176B346
4、C664D664答案B解析由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6,2，四棱锥的高是4，其直观图如图，作PE平面ABCD，则垂足E为AD的中点，PE4，作EFBC，垂足为F，则PFBC，EF2，PF2，ABAD，ABPA，PA5，S6264622(25)346，故选B(理)(2015豫南九校联考)已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的四个侧面中面积最大的是()A3B2C6D8答案C解析由三视图知，该几何体是四棱锥，其直观图如图，其四个侧面中面积最大的是PBC，由图中数据知AB2，BC4，PAPD3，PE，取BC中点F，则EFBC，PFBC，PF3，SPBCBCPF6.5(2
5、014云南景洪市一中期末)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是()ABCD答案B解析由三视图知，这是一个半径为1的球，截去，故其体积为V(13).6(2015江西三县联考)平面与平面平行的条件可以是()A内有无穷多条直线与平行B直线a，aC直线a，直线b，且a，bD内的任何直线都与平行答案D解析当l时，内与l平行的直线都与平行，故A错；当l，al，a，a时，满足B的条件，B错；当l，a，al，b，bl时，有a，b，C错，故选D7(2014长春市一调)某几何体的三视图如图(其中俯视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为()A9214B8214C9
6、224D8224答案A解析由三视图知，该几何体是一个组合体，下部是长宽分别为5、4，高为4的长方体，上部为底半径为2，高为5的半圆柱，故其表面积S54(54)2422(225)9214，故选A8(2015许昌、平顶山、新乡调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()AB10C30D242答案B解析由三视图可知，该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形，S底(23)25，棱柱高为2，V5210.9(2015广东揭阳一中期中)下列命题中，错误的是()A一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于
7、平面D若直线l不平行平面，则在平面内不存在与l平行的直线答案D解析当直线l在平面内时可知D错误10(文)(2015广东执信中学期中)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的左视图为()答案B解析其左视图可考虑在原正方体中，将该几何体投射到平面BCC1B1上，则A点射影为B，D点射影为C，D1点射影为C1，AD1的射影为BC1，应为实线，DD1的射影CC1为实线，B1C应为虚线(左下到右上)，故应选B(理)(2015甘肃天水一中段测)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E1，F1分别是线段A1B1，A1C1的中点，则直线BE1与AF1所成角的余弦值是()ABC
8、D答案A解析以A为原点，直线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则B(1,0,0)，E1(，0,1)，F1(，1)，(，1)，(，0,1)cos，故选A11(2015深圳市五校联考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()ABC6D7答案A解析由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：VV正方体2V三棱锥2222(111).12(2014长沙市重点中学月考)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A2B2C2(1)D2答案A解析由三视图知，该几
9、何体是倒立的半个圆锥，圆锥的底半径为1，高为2，故其表面积为S122212，故选A第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(2015甘肃天水一中段测)若某几何体的三视图如下，该几何体的体积为2，则俯视图中的x_.答案2解析由三视图可知，该几何体为四棱锥，高为2，底面为直角梯形，面积S(1x)21x，因此VSh(1x)22，解得x2.14(2014成都七中模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M是BC1的中点，P是BB1一动点，则(APMP)2的最小值为_答案解析将平面ABB1A1展开到与平面CBB1C1共面，如下
10、图，易知当A、P、M三点共线时(APMP)2最小AM2AB2BM22ABBMcos13512()221().15(2014海南省文昌市检测)边长是2的正三角形ABC内接于体积是4的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为_答案解析设球半径为R，则由条件知R34，R，正三角形ABC所在平面截球得截面如图，OO1平面ABC(O1为ABC的中心)，OA，O1A2，OO1，球面上的点到平面ABC的最大距离为PO1POOO1.16一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_答案9解析由三视图可得该几何体是一个三棱锥，底面是等腰三角形，底边长为6，高为3，三棱锥的高为3，所以V(63)39.三、解
11、答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(2015石光中学月考)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD，若E，F分别为PC，BD的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PDC平面PAD；(3)求四棱锥PABCD的体积解析(1)连接EF，AC，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形且点F为对角线BD的中点，对角线AC经过F点，又点E为PC的中点，EF为PAC的中位线，EFPA又PA平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD(2)底面ABCD是边长为a的正
12、方形，CDAD，又侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，CD平面PAD又CD平面PCD，平面PDC平面PAD(3)过点P作AD的垂线PG，垂足为点G，侧面PAD底面ABCD，PG平面PAD，侧面PAD底面ABCDAD，PG平面ABCD，即PG为四棱锥PABCD的高，又PAPDAD且ADa，PG.V四棱锥PABCDS正方形ABCDPGa2a3.18(本小题满分12分)(文)(2014合肥市质检)如图，在多面体ABCDFE中，底面ABCD是梯形，且ADDCCBAB直角梯形ACEF中，EF綊AC，ECA是直角，且平面ACEF平面ABCD(1)求证：BCAF；(2)试判断直线DF与平面B
13、CE的位置关系，并证明你的结论解析(1)证明：取AB的中点H，连接CH，底面ABCD是梯形，且ADDCCBAB，易证四边形AHCD为菱形，ADHCAB，ACB90，BCAC平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，BC平面ACEF，而AF平面ACEF，故BCAF.(2)DF平面BCE.证明如下：连接DH交AC于点M，易知M为AC的中点，连接FM.在菱形AHCD中，DMAC，由第一问知BCAC，故DMBC在直角梯形ACEF中，EF綊CM，四边形EFMC是平行四边形，故FMEC而BC，CE平面BCE，BCCEC，而DM，MF平面DMF，DMMFM，故平面BCE平面DMF，DF平面D
14、MF，从而，DF平面BCE.(理)(2014天津南开中学月考)如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为，且侧棱与底面垂直，D为B1C1的中点(1)求证AC1平面A1BD；(2)求异面直线AC1与BD所成角的余弦值；(3)求二面角B1A1BD的平面角的正弦值解析因为三棱柱的侧棱垂直于底面，所以平面BB1C1C平面A1B1C1.在等腰三角形A1B1C1中，D为B1C1中点，A1DB1C1，A1D平面BB1C1C取BC的中点E，连接DE，则直线ED，B1C1，A1D两两垂直如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，在等边三角形A1B1C1中，边长为2，所以A1D，所以D(0
15、,0,0)，B1(1,0,0)，C1(1,0,0)，A1(0,0，)，B(1，0)，C(1，0)，A(0，)(1)证明：(0,0，)，(1，0)设平面A1BD的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则令y1，则x13，z10.所以m(3，0)又(1，)，m0，m，又AC1平面BDA1，AC1平面BDA1.(2)(1，)，(1，0)，cos，.异面直线AC1与BD所成角的余弦值为.(3)(0，0)，(1,0，)，设平面B1BA1的一个法向量为n(x2，y2，z2)，则令z2，则x23.所以n(3,0，)cosm，n.二面角B1A1BD的平面角的正弦值为.19(本小题满分12分)(文)(2015江西
16、三县联考)如图，四边形ABEF是等腰梯形，ABEF，AFBE2，EF4，AB2，ABCD是矩形AD平面ABEF，其中Q，M分别是AC，EF的中点，P是BM中点(1)求证：PQ平面BCE；(2)求证：AM平面BCM；(3)求点F到平面BCE的距离解析(1)因为ABEM，且ABEM，所以四边形ABEM为平行四边形连接AE，则AE过点P，且P为AE中点，又Q为AC中点，所以PQ是ACE的中位线，于是PQCE.CE平面BCE，PQ平面BCE，PQ平面BCE.(2)AD平面ABEFBC平面ABEFBCAM.在等腰梯形ABEF中，由AFBE2，EF4，AB2，可得BEF45，BMAM2，AB2AM2BM2
17、，AMBM.又BCBMB，AM平面BCM.(3)解法一：点F到平面BCE的距离是M到平面BCE的距离的2倍，EM2BE2BM2，MBBE，MBBC，BCBEB，MB平面BCE，d2MB4.解法二：VCBEFSBEFBCBC，VFBCESBCEdBCVCBEFVFBCE，d4.(理)(2014成都七中模拟)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AGGD，GBGC，GBGC2，E是BC的中点，四面体PBCG的体积为.(1)求过P、C、B、G四点的球的表面积；(2)求直线DP与平面PBG所成角的正弦值；(3)在棱PC上是否存在一点F，使DFGC，
18、若存在，确定点F的位置，若不存在，说明理由解析(1)四面体PBCG的体积为，GBGC，GBGC2，PG平面ABCD，PG4，以GP，GB，GC为棱构造长方体，外接球的直径为长方体的对角线(2R)21644，R，S4624.(2)GBGC2，BGC，E为BC的中点，GE，BGsinAGB，AGB，作DKBG交BG的延长线于K，DK平面BPG，BC2，DGBC，DKGK，PD.设直线DP与平面PBG所成角为，sin.(3)假设F存在，过F作FFGC交GC于F，则必有DFGC因为AGGD，且AD2，所以GD，又DGF45，GFGC，PFPC当时满足条件20(本小题满分12分)(2015大连市二十中期
19、中)如图，四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC4，AB2，E、F分别在BC、AD上，EFAB现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC(1)当BE1时，是否在折叠后的AD上存在一点P，使得CP平面ABEF？若存在，指出P点位置，若不存在，说明理由；(2)设BEx，问当x为何值时，三棱锥ACDF的体积有最大值？并求出这个最大值解析(1)存在点P使得满足条件CP平面ABEF，且此时.证明如下：，过点P作MPFD，与AF交于点M，则有，又FD5，故MP3，又因为EC3，MPFDEC，故有MP綊EC，故四边形MPCE为平行四边形，所以PCME，又CP平面ABEF，ME平面
20、ABEF，故有CP平面ABEF成立(2)因为平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDCEF，又AFEF，所以AF平面EFDC由已知BEx，所以AFx(0x4)，FD6x.故VACDF(DFEF)AF2(6x)x(6xx2)(x3)29(x3)23.所以，当x3时，VACDF有最大值，最大值为3. 21(本小题满分12分)(文)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC，ABACAA11，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA1.(2)求证：CDC1D；(2)求点C到平面B1DP的距离解析(1)证明：连接B1A交BA1于O，PB1平面BDA1，
21、B1P平面AB1P，平面AB1P平面BA1DOD，B1POD又O为B1A的中点，D为AP的中点，C1为A1P的中点，ACDPC1D，CDC1D；(2)因为VCB1PDVB1PCD所以hSB1PDA1B1SPCD，A1B11，SPCDCDPC1，在B1PD中，B1D，B1P，PD，cosDB1P，sinDB1P.SB1PD，h.(理) (2014康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若DABDBF60，且FAFC(1)求证：FC平面EAD；(2)求二面角AFCB的余弦值解析(1)证明：四边形ABCD与BDEF均为菱形，AD
22、BC，DEBF.AD平面FBC，DE平面FBC，AD平面FBC，DE平面FBC，又ADDED，AD平面EAD，DE平面EAD，平面FBC平面EAD，又FC平面FBC，FC平面EAD(2)连接FO、FD，四边形BDEF为菱形，且DBF60，DBF为等边三角形，O为BD中点所以FOBD，O为AC中点，且FAFC，ACFO，又ACBDO，FO平面ABCD，OA、OB、OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设AB2，因为四边形ABCD为菱形，DAB60，则BD2，OB1，OAOF，O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(，0,0)，F(0,0，)，(，0，)，(，1,0)
23、，设平面BFC的一个法向量为n(x，y，z)，则有令x1，则n(1，1)，BD平面AFC，平面AFC的一个法向量为(0,1,0)二面角AFCB为锐二面角，设二面角的平面角为，cos|cosn，|，二面角AFCB的余弦值为.22(本小题满分14分)(文)(2014黄石二中检测)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC2AB2，且BC1A1C(1)求证：平面ABC1平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使DE平面ABC1；若存在，求三棱锥EABC1的体积解析(1)证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，有A1A平面ABCA1AAC，又A1AAC，
24、A1CAC1.又BC1A1C，A1C平面ABC1，A1C平面A1ACC1，平面ABC1平面A1CC1.(2)存在，E为BB1的中点取A1A的中点F，连EF，FD，当E为B1B的中点时，EFAB，DFAC1，平面EFD平面ABC1，则有ED平面ABC1.当E为BB1的中点时，VEABC1VC1ABE211.(理)(2014浙北名校联盟联考)已知在长方体ABCDABCD中，点E为棱CC上任意一点，ABBC2，CC1.(1)求证：平面ACCA平面BDE；(2)若点P为棱CD的中点，点E为棱CC的中点，求二面角PBDE的余弦值解析(1)ABCD为正方形，ACBD，CC平面ABCD，BDCC，又CCACC，BD平面ACCA，平面BDE平面ACCA.(2)以DA为x轴，以DC为y轴，以DD为z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，E(0,2，)，P(0,1,1)，设平面BDE的法向量为m(x，y，z)，(2,2,0)，(0,2，)，令x1，则y1，z4，m(1，1,4)，设平面PBD的法向量为n(x，y，z)，(0,1,1)，令x1，则y1，z1，n(1，1,1)，cosm，n，二面角PBDE的余弦值为.
