1、54.2正弦函数、余弦函数的性质新课程标准解读核心素养1.了解周期函数的概念、正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期数学抽象、数学运算2.了解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性数学抽象、直观想象、逻辑推理3.了解正弦函数与余弦函数的单调性，并会利用函数单调性求函数的最值和值域，会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的单调区间数学抽象、数学运算第一课时正、余弦函数的周期性与奇偶性盛夏到来，天气异常炎热随着人民生活水平的提高，外出旅游，消夏避暑成为人们生活的一种常态当我们来到内蒙古大草原，顿时感到心旷神怡，精神焕发，密密麻麻的风力发电机成为一道靓丽的风景风力发电机就是靠它的
2、叶片周而复始的转动，这种周而复始的转动就是周期现象问题(1)你能用数学语言刻画出函数的周期性吗？(2)从它们的图象上你能得到哪些信息？知识点一函数的周期性1周期函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个xD都有xTD，且f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数非零常数T叫做这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内的每一个值时”，要特别注意“每一个值”的要求2形如yAsin(x)(A0，0)与yAcos(x)(A0，0)的函数的周
3、期常用公式T来求 是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一1函数f(x)2cos 2x的最小正周期是()A.B.C D2答案：C2若函数f(x)的周期3，且f(1)2，则f(7)_答案：2知识点二正、余弦函数的周期性和奇偶性函数ysin xycos x图象定义域RR周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0)最小正周期22奇偶性奇函数偶函数对正、余弦函数奇偶性的再理解因为sin(x)sin x，cos(x)cos x，所以正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称
4、正、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)由于sinsin ，则是正弦函数ysin x的一个周期()(2)函数y3sin 2x是奇函数()(3)函数ycos x是偶函数()答案：(1)(2)(3)2函数f(x)2sin是()AT2的奇函数BT2的偶函数CT的奇函数 DT的偶函数答案：B3函数f(x)sin xcos x是_(填“奇”或“偶”)函数答案：奇三角函数的周期性例1(链接教科书第201页例2)求下列函数的最小正周期：(1)(x)cos；(2)(x)|sin x|.解(1)法一(定义法)：(x)coscoscos(x)，即(x)(x)，函数
5、(x)cos的最小正周期T.法二(公式法)：ycos，2.又T.函数(x)cos的最小正周期T.(2)法一(定义法)：(x)|sin x|, (x)|sin(x)|sin x|(x)，(x)的最小正周期为.法二(图象法)：函数y|sin x|的图象如图所示由图象可知最小正周期T.求三角函数的周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(xT)f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；(2)公式法：对形如yAsin(x)和yAcos(x)(其中A，是常数，且A0，0)的函数，可利用T来求；(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的
6、函数一般采用此法 跟踪训练1函数f(x)sin的最小正周期为()A.BC2 D4解析：选D函数f(x)sin的最小正周期T4.2函数ycos(k0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值为_解析：k0，T2，即k4，正整数k的最小值是13.答案：13三角函数的奇偶性例2(链接教科书第203页练习3题)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)cosx2sin x；(2)f(x)cos(2x)x3sin x；(3)f(x).解(1)f(x)sin 2xx2sin x，又xR，f(x)sin(2x)(x)2sin(x)sin 2xx2sin xf(x)，f(x)是奇函数(2)函数的定义域为R，关于原点
7、对称，f(x)cos xx3sin x，f(x)cos(x)(x)3sin(x)cos xx3sin xf(x)，f(x)为偶函数(3)由得cos x，此时f(x)0，f(x)的定义域为，f(x)既是奇函数又是偶函数判断函数奇偶性的方法 跟踪训练判断下列函数的奇偶性：(1)(x)x2cos；(2)(x)sin(cos x)解：(1)函数(x)的定义域为R，f(x)x2cosx2sin x，f(x)(x)2sin(x)x2sin xf(x)，(x)为奇函数(2)函数(x)的定义域为R，(x)sinsin(cos x)(x)，(x)为偶函数三角函数的奇偶性与周期性的应用例3(链接教科书第203页练
8、习4题)定义在R上的函数(x)既是偶函数又是周期函数，若(x)的最小正周期是，且当x时，(x)sin x，求的值解(x)的最小正周期是，.(x)是R上的偶函数，sin.母题探究1(变条件)若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求的值解：sin.2(变设问)若本例条件不变，求的值解：sin .1解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，可以把xnT(nZ)的函数值转化为x的函数值利用奇偶性，可以找到x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题2推得函数周期的若干形式：(1)若f(xt)f(x)，则函数周期为t；(2)若f(xt)f(x)，则函数周期为2t；(3)若f(xt)，则函数
9、周期为2t；(4)若f(xt)，则函数周期为2t. 跟踪训练1下列函数中是奇函数，且最小正周期为的函数是()Aycos|2x| By|sin 2x|Cysin Dycos解析：选Dycos|2x|是偶函数，y|sin 2x|是偶函数，ysincos 2x是偶函数，ycossin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T.2函数(x)为偶函数且(x)，1，则_解析：(x)，(x)(x)，即T，1.答案：1正弦函数图象对称性问题探究(探究型)1下列图案中，哪些是轴对称图形？()哪些是中心对称图形？()有没有既是轴对称又是中心对称的图形？()2正弦函数的图象如下图利用图象探索正弦函数图象的对称性问题探
10、究1正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没有，请说明理由提示：由正弦函数的图象可以看出，它是轴对称图形，有无数条对称轴，经过最高点或最低点且与x轴垂直的直线都是它的对称轴，对称轴方程为xk，kZ.2正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，如果没有，请说明理由提示：由正弦函数的图象可以看出，它也是中心对称图形，有无数个对称中心，图象与x轴的交点都是它的对称中心，对称中心坐标为(k，0)，kZ.3画出函数ysin |x|的图象，并利用图象说明它的对称性提示：由图象可知，函数ysin |x|的图象是轴对称图形，对称轴为y轴，它不是中心对称图形迁移应用1求函数y2
11、sin的对称轴方程及对称中心坐标解：由xk，kZ，得对称轴方程为xk，kZ.由xk，kZ，得xk，kZ，对称中心坐标为，kZ.2如果函数ysin 2xacos 2x的图象关于直线x对称，那么a的值是多少？解：函数的图象关于直线x对称，f(0)f，即sin 0acos 0sinacos，a1.1函数f(x)sin(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析：选A由于xR，且f(x)sin xsin(x)f(x)，所以f(x)为奇函数2函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则等于()A5 B10C15 D20解析：选B由题意知T，所以10.3(多选)下列函数中，周期为2的是()Aycos BycosCy Dy|cos 2x|解析：选BCycos 的周期为T4；ycos的周期为T2；y的周期为T2；y|cos 2x|的周期为T.故选B、C.4若函数f(x)sin xacos x的图象关于直线x对称，则a_解析：f(x)的图象关于直线x对称，f(0)f，即asin acos ，a.答案：5已知aR，函数f(x)sin x|a|，xR为奇函数，则a等于_解析：因为f(x)sin x|a|，xR为奇函数，所以f(0)sin 0|a|0，所以a0.答案：0
