1、44.2对数函数的图象和性质新课程标准解读核心素养1.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象直观想象2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点直观想象、逻辑推理3.知道对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数(a0，且a1)数学抽象第一课时对数函数的图象和性质观察下图，回答下面的问题问题(1)从图上看，函数ylog2x与ylogx的图象有什么关系？函数ylogax与ylogx(a0，且a1)呢？(2)从图上看，对数函数的图象的分布与底数有什么关系？知识点一对数函数的图象及性质a的范围0a1a1图象性质定义域(0，)值域R定点(1，0)，即x时，y单调性在(0，)上是减函数在(0，)
2、上是增函数对数函数图象的再理解(1)对数函数的图象永远在y轴的右侧，对数函数的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在第一、四象限内；(2)若0a1且0x1且x1，则有y0；若0a1，或a1且0x1，则有y0，且a1)和对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数两者的定义域和值域正好互换反函数性质的再理解(1)互为反函数的两个函数图象关于直线yx对称；(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域 1函数f(x)的反函数是_答案：f(x)logx2函数g(x)log8x的反函数是_答案：g(x)8x3已知yax在R上是增函数，则ylogax在(0，)上是_函数(填
3、“增”或“减”)答案：增对数型函数的图象例1(1)当a1时，在同一坐标系中，函数yax与ylogax的图象为()(2)已知f(x)loga|x|，满足f(5)1，试画出函数f(x)的图象(1)解析yax，a1，01，则yax在(，)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数ylogax在(0，)上是增函数，过定点(1，0)故选C.答案C(2)解因为f(5)1，所以loga51，即a5，故f(x)log5|x|所以函数ylog5|x|的图象如图所示有关对数型函数图象的判断及应用技巧(1)求函数ymlogaf(x)(a0，且a1)的图象过定点时，只需令f(x)1求出x，即得定点为(x，m)；(2)给出
4、函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法；(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小 跟踪训练1函数f(x)loga(x1)1(a0，且a1)的图象恒过点()A(1，1)B(1，2)C(2，1) D(2，2)解析：选C令x11，即x2，得f(2)loga111，因此f(x)的图象恒过点(2，1)故选C.2对数函
5、数ylogax(a0，且a1)的大致图象如图所示，已知a的取值为，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是_解析：当a1时，对数函数ylogax的图象是上升的；当0a0，且a1)解(1)因为ylog3x在(0，)上是增函数，且1.92，所以log31.9log210，log0.32log0.32.(3)3.14，当a1时，函数ylogax在(0，)上是增函数，有logaloga3.14；当0a1时，函数ylogax在(0，)上是减函数，有loga1时，logaloga3.14；当0a1时，logaloga3.14.比较对数值大小时常用的4种方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调
6、性直接进行比较；(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较 跟踪训练比较下列各组对数值的大小：(1)log与log；(2)3log45与2log23；(3)log0.3与log3；解：(1)因为ylogx在(0，)上单调递减，且log.(2)3log45log4125，2log23log29log481，且函数ylog4x在区间(0，)上增函数，又12581，所以3log45
7、2log23.(3)由对数的性质知log0.30log3，所以log0.3log3.求解对数不等式例3解不等式：(1)log2(2x3)log2(5x6)；(2)loga(x4)loga(2x1)0(a0且a1)解(1)原不等式等价于解得x3.所以不等式的解集为.(2)原不等式化为loga(x4)loga(2x1)当a1时，不等式等价于 无解当0a1时，不等式等价于解得x4.综上可知，当a1时，解集为；当0a1时，解集为x|x4常见对数不等式的2种解法(1)形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论；(2)形如logaxb的
8、不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助ylogax的单调性求解 跟踪训练1求满足不等式log3x1的x的取值集合解：log3x1log33，x满足的条件为即0x3.x的取值集合为x|0x32已知log0.7(2x)log0.7(x1)，求x的取值范围解：函数ylog0.7x在(0，)上为减函数，由log0.7(2x)1.x的取值范围是(1，)1函数yloga(x2)(a0且a1)的图象恒过的定点是()A(1，0)B(2，0)C(3，0)D(4，0)解析：选C令x21，得x3.当x3时，y0，故函数的图象恒过定点(3，0)2.如图，若C1，C2分别为函数ylogax和ylogbx的图象，则()A0ab1B0ba1Cab1Dba1解析：选B作直线y1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0ba1.3已知loga1，求a的取值范围解：由loga1得logalogaa.当a1时，有a，此时无解；当0a1时，有a，从而a1.所以a的取值范围是.
