1、小题必练16 平面向量1平面向量及其应用向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领城向量的基础，在解决实际向题中发挥重要作用本单元的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用，用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题内容包括：向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用（1）向量概念通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两
2、个向量相等的含义理解平面向量的几何表示和基本要素（2）向量运算借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义通过实例分析，掌握平面向量数量运算及运算规则，理解其几何意义理解两个平面向量共线的含义了解平面向量的线性运算性质及其几何意义通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积通过几何直观，了解平面向投影的概念以及投影向量的意义（参见案例）会用数量积判断两个平面向的垂直关系（3）向量基本定理及坐标表示理解平面向量基本定理及其意义借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算能用坐标
3、表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件（4）向量应用与解三角形会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题1【2020全国卷】设，为单位向量，且，则【答案】【解析】因为，为单位向量，所以，所以，解得，所以故答案为【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题2【2020全国卷】已知单位向量，的夹角为，与垂直，则【答案】【解析】由题意可得，由向量垂直的充分必要条件可得，即，解得，故
4、答案为【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力一、单选题1已知向量，若，则实数的值为（）ABCD【答案】A【解析】向量，若，则，实数，故选A2已知向量，且，则的值为（）ABCD【答案】D【解析】由题知，因为，所以，从而，故选D3已知向量，若，则实数（）ABCD【答案】C【解析】因为，所以，又，所以，即，解得，故选C4已知向量与的夹角为，当时，实数为（）ABCD【答案】C【解析】向量与的夹角为，由，知，解得故选C5已知，为单位向量，且，则（）ABCD【答案】B【解析】因为，为单位向量，且，所以，所以，所以，故选B6在中
5、，为边上的高，为的中点，那么（）ABCD【答案】A【解析】因为在中，为边上的高，所以，又为的中点，则，故选A7已知向量，满足，若与的夹角为，则实数（）ABCD【答案】C【解析】不妨设，则，则，由向量夹角公式可知，解得，则，故舍去一根，故选C8如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是（）ABCD【答案】C【解析】，故答案为C二、多选题9已知是平行四边形对角线的交点，则（）ABCD【答案】AB【解析】因为是平行四边形对角线的交点，对于选项A，结合相等向量的概念可得，即A正确；对于选项B，由平行四边形法则可得，即B正确；对于选项C，由向量的减法可得，即C错误；对于选项D，由向量的加法运算可
6、得，即D错误，综上可得A、B正确，故选AB10已知向量，设，的夹角为，则（）ABCD【答案】BD【解析】根据题意，则，依次分析选项：对于A，则不成立，A错误；对于B，则，即，B正确；对于C，不成立，C错误；对于D，则，则，则，D正确，故选BD11已知，且与夹角为，则的取值可以是（）ABCD【答案】AC【解析】因为，且，与夹角为，所以，解得或，故选AC12已知圆和两点，（）若圆上存在点，使得，则实数的取值可以为（）ABCD【答案】ABC【解析】圆的圆心，半径，设在圆上，则，若，则，的最大值即为的最大值，等于，最小值为，的取值范围是，故选ABC三、填空题13已知，若，则实数；若，则实数【答案】，【解析】由，可得，解得；由，得，即，解得故答案为，14若平面向量，满足，则【答案】【解析】因为向量，满足，所以，由，得，即，故答案为15已知非零向量与的夹角为，若，则【答案】【解析】由，可得，所以，即，又由，可得，解得（舍）或，故答案为16已知非零向量与的夹角为，则对于任意的，的最小值为【答案】【解析】由平面向量数量积的定义可得，所以，所以，当时，取最小值，故答案为
