1、3.3.2抛物线的几何性质 学 习 任 务核 心 素 养1掌握抛物线的几何性质(重点) 2掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题(难点)1通过对抛物线几何性质的应用，培养数学运算的核心素养2通过对直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，一水面漂浮一宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问：木箱能否通过该拱桥？为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质知识点1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x2
2、2py(p0)x22py(p0)图形性质焦点准线xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴y轴顶点(0，0)1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线是无中心的圆锥曲线()(2)抛物线yx2的准线方程为x()答案(1)(2)2顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是()Ax216y Bx28yCx28y Dx216yD顶点到准线的距离为，则4解得p8，又因对称轴为y轴，则抛物线方程为x216y知识点2通径通过抛物线的焦点且垂直于x轴的直线与抛物线交于点M1和M2线段M1M2叫作抛物线的通径，它的长为2p知识点3焦点弦直线过抛物线y22px
3、(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|x1，|BF|x2，故|AB|x1x2p3过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，则|AB|()A10 B8 C6 D4B|AB|x1x2p628知识点4直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交设直线ykxm与抛物线y22px(p0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将ykxm代入y22px，消去y并化简，得k2x22(mkp)xm20k0时，直线与抛物线只有一个交点；k0时，0直线与抛物线相交有两个公共点0直
4、线与抛物线相切只有一个公共点0直线与抛物线相离没有公共点直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？提示可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点 类型1抛物线性质的应用【例1】(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2y24相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为_(2)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|4，求抛物线的方程(1)y23x或y23x根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为，交点横坐标为1，则抛物线过点(1，)或(1，)，设抛物线方
5、程为y22px或y22px(p0)，则2p3，从而抛物线方程为y23x或y23x(2)解如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由定义得：|BD|a，故BCD30，在RtACE中，|AF|4，|AC|43a，2|AE|AC|，43a8，从而得a，BDFG，p2因此抛物线的方程是y24x用待定系数法求抛物线方程的步骤是什么？提示跟进训练1若直线xm与抛物线y24x交于A、B两点，F是其焦点，若ABF为等边三角形，求m的值解根据题意ABF为等边三角形，则tan 60，m0，解得m712 类型2直线与抛物线的位置关系【例2】(1)过定点P(0，
6、1)作与抛物线y22x只有一个公共点的直线有几条？(2)若直线l：y(a1)x1与曲线C：y2ax(a0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合解(1)当直线的斜率不存在时，直线x0，符合题意当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为ykx1，当k0时，直线l的方程为y1，满足直线与抛物线y22x仅有一个公共点；当k0时，将直线方程ykx1代入y22x，消去y得k2x22(k1)x10由0，得k，直线方程为yx1故满足条件的直线有三条(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得(a1)x12ax，即(a1)2x2(3a2)x10()当a10，即a1时，方程是关于
7、x的一元一次方程，解得x1，这时，原方程组有唯一解()当a10，即a1时，方程是关于x的一元二次方程令(3a2)24(a1)2a(5a4)0，解得a0(舍去)或a所以原方程组有唯一解综上，实数a的取值集合是直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切跟进训练2若抛物线y24x与直线yx4相交于不同的两点A，B，求证：OAOB证明
8、由消去y，得x212x160直线yx4与抛物线相交于不同两点A，B，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x212，x1x216x1x2y1y2x1x2(x14)(x24)x1x2x1x24(x1x2)161616412160，即OAOB 类型3中点弦及弦长公式【例3】过点Q(4，1)作抛物线y28x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程解法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y8x1，y8x2，(y1y2)(y1y2)8(x1x2)又y1y22，y1y24(x1x2)，即4，kAB4AB所在直线的方程为y14(x4)，即4x
9、y150法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为yk(x4)1联立消去x，得ky28y32k80，此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标由根与系数的关系得y1y2又y1y22，k4AB所在直线的方程为4xy150“中点弦”问题解题方法跟进训练3已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程解当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y22px(p0)，则焦点F，直线l的方程为yx设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂
10、线，垂足分别为点A1，点B1(图略)，则|AB|AF|BF|AA1|BB1|x1x2p6，x1x26p由消去y，得2px，即x23px0x1x23p，代入式得3p6p，p所求抛物线的标准方程是y23x当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y23x 类型4抛物线的综合应用【例4】如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值1根据题目条件，应该如何设抛物线的标准方程？提示设抛物线的方程为y22px(p
11、0)2如何利用条件“当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补”？提示直线PA与PB的斜率互为相反数解(1)由题意可设抛物线的方程为y22px(p0)，则由点P(1，2)在抛物线上，得222p1，解得p2，故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB，即又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1，x2，从而有，即，得y1y24，故直线AB的斜率kAB1即直线AB的斜率为定值1若本例题改为：如图所示，已知直线l：y2x4交抛物线y24x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使PAB的面积最大，并求出这个最大面积
12、解由解得或由图可知，A(4，4)，B(1，2)，则|AB|3设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则d|(y01)29|2y04，(y01)290d9(y01)2从而当y01时，dmax，Smax3故当点P的坐标为时，PAB的面积取得最大值，最大值为2若本例改为“抛物线方程为y2x，且过点P(3，1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A(1，1)不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2”，求证：k1k2为定值证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN的方程为xt(y1)3，代入抛物线方程得y2tyt30所以(t2)280，y1y
13、2t，y1y2t3所以k1k2所以k1k2是定值应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用“点差法”较简便(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用“特值探路法”找定点、定值1若抛物线y22x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的
14、距离为()ABCDA线段AB所在的直线方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为12在抛物线y216x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()A(4，2) B(4，2)C(2，4) D(2，4)D抛物线y216x的顶点O(0，0)，焦点F(4，0)，设P(x，y)符合题意，则有所以符合题意的点为(2，4)3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是()A(2，2) B(1，2)C(1，2) D(2，2)B由题意知F(1，0)，设A，则，由4得y02，点A的坐标为(1，2)，故选B4已知AB是过抛物线2x2y的焦点的弦，若|AB|4，则AB的中
15、点的纵坐标是_设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2y，可得p|AB|y1y2p4，y1y24，故AB的中点的纵坐标是5已知点P(1，m)是抛物线C：y22px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|2，直线l：yk(x1)与抛物线C相交于不同的两点A，B(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|8，求k的值解(1)抛物线C：y22px的准线为x，由|PF|2得：12，得p2所以抛物线的方程为y24x(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得k2x2(2k24)xk20，16k2160，x1x2直线l经过抛物线C的焦点F，|AB|x1x2p28，解得k1，所以k的值为1或1回顾
16、本节知识，自我完成以下问题：1抛物线的有哪些几何性质？提示抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心率为1的无心圆锥曲线2解决抛物线的中点弦问题有哪些方法？提示(1)点差法；(2)联立直线和抛物线方程，利用“设而不求”的方法，结合根与系数的关系和中点坐标公式求解3如何解决与抛物线有关的定点，定值问题？提示圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值圆锥曲线的光学性质你知道吗？椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都具有令人惊奇的光学性质，而且这些光学性质都与它们的焦
17、点有关从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经反射后都通过椭圆的另一个焦点，如图1所示图1从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图2所示图2图3从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴，如图3所示具体而言，在图3中，F为抛物线的焦点，设M是抛物线上一点，AM是抛物线的切线，MBMA，设光线FM在M处反射后的光线是MC(即FMBBMC)，则可以证明，MC是平行于x轴的事实上，为了证明这个结论，我们只需证明直线MF的倾斜角是AM的倾斜角的两倍即可，设抛物线的方程为y22px，且M(x0，y0)，则可以算得直线AM的斜率为，直线FM的斜率为，根据这两者之间的关系以及正切的倍角公式就可以得到结论圆锥曲线的这些光学性质，在日常生活和科学研究中有着广泛的应用例如，物理学中的凹凸透镜的表面一般都是抛物面(抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面)，2016年9月25日落成启用的“中国天眼”500 m口径球面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面，如图4所示图4类似的应用还有很多，感兴趣的同学请利用网络进行搜索吧！
