1、河北省重点重点中学2020-2021学年高三下学期开学考试数学（新高考）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合,则( )A.B.C.D.2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为( )A2 B C D 3.5名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革庆祝改革开放40周年大型展览”,参观结束后5名同学排成一排照相留念,若甲、乙二人不相邻,则不同的排法共有( )A.36种B.48种C.72种D.120种4.的内角的对边分别为。若的面积为,则( )。A.B.C.D.5.设有两组数据与，它们的平均数分别是和，则新的
2、一组数据的平均数是( )。A.B.C.D.6.圆与圆有三条公切线,则半径( )A.5B.4C.3D.27.在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点，若，则（ ）A B C D 8.已知定义在上的函数满足,且当时,，若方程有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设O为坐标原点，是双曲线的焦点.若在双曲线上存在点P，满足，则( )A.双曲线的方程可以是B.双曲线的渐近线方程是C.双曲线的离心率为D.的面积为
3、10.已知数列的前n项和为，若是与的等差中项，则下列结论中正确的是( )A.当且仅当时，数列是等比数列B.数列一定是单调递增数列C.数列是单调数列D.11.已知函数,下列说法正确的是( )A.函数为偶函数B.若,其中,则C.函数在上单调递增D.若,则12.某学校共有6个学生餐厅,甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择到每个餐厅概率相同),则下列结论正确的是( )A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为B.四人去了同一餐厅就餐的概率为C.四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为D.四人中去第一餐厅就餐的人数的数学期望为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若满足约束条件
4、则的最大值为_.14.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 .15.如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,为直线上一动点,则点到直线的距离的最小值为_.16.已知数列的通项公式为,记数列的前项和为.若,则数列的通项公式为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知.(1)求角A的大小.(2)若，求的值.18. （12分）已知首项为的等比数列的前项和为,且成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)证明:.19. （12分）从某果园
5、的苹果树上随机采摘500个苹果,其质量分布如频率分布直方图所示.求的值,并计算这500个苹果的质量的平均值；现按分层抽样的方式从质量在(克)的苹果中抽取6个,再从这6个苹果中随机抽取2个,求这2个苹果的质量都在(克)的概率.20. （12分）如图，已知长方体中，E为上一点，且.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.21. （12分）已知函数,讨论的单调性.22. （12分）设双曲线与直线相交于不同的两点.(1)求双曲线的离心率的取值范围；(2)设直线与轴的交点为,且,求实数的值.答案以及解析1.答案：A解析：集合.2.答案：A解析：复数，它是纯虚数，所以，故选A3.答案：C解析：除甲、乙
6、二人外,其他3名同学排成一排,不同的排法有(种),这3名同学排好后,留下4个空位,排甲、乙,不同的排法有(种),所以不同的排法有(种).4.答案：C解析：已知的面积为,又,所以,整理可得。根据余弦定理可知,所以。因为,所以。故选C。5.答案：B解析：设，则。6.答案：C解析：由圆,得,圆心坐标为,半径为2；由圆,得圆心坐标为,半径为r.圆与圆有三条公切线,两圆相外切,即,.故选C.7.答案：C解析：如图所示,中,，再由可得，；又，；又.故选：C.8.答案：D解析：因为,且当时, ,所以当时, ,则,当时, ,则在上单调递减.因为方程有三个不同的交点,作出函数的大致图象,如图所示.当直线和的图象
7、相切时,结合图象,设切点为,由,可得,代入方程,可得;当直线过点时, ,由图可知实数a的取值范围是.9.答案：BC解析：如图，为的中点，即.又，.又由双曲线的定义得，.即.由得.在中，由余弦定理得，即.又，即.双曲线的渐近线方程为.双曲线的离心率为，双曲线的方程可以是，的面积.故BC正确.10.答案：CD解析：因为是与的等差中项，所以，所以.又，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故选项A错误.当时，数列是单调递减数列，故选项B错误.因为，所以，当时，数列是单调递减数列；当时，数列是单调递增数列，故选项C正确.由于，故选项D正确.所以正确选项为CD.11.答案：ABD解析：对于A,所
8、以函数为偶函数,故A正确;对于B,若,其中,则,即,得,故B正确;对于C,函数,由,解得,所以函数的定义域为,因此在上不具有单调性,故C错误;对于D,因为,所以,所以,故,故D正确.故选ABD.12.答案：ACD解析：四位同学随机选择一家餐厅就餐有种选择方法.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为，所以选项A正确；四人去了同一餐厅就餐的概率为，所以选项B不正确；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为，所以选项C正确；每位同学选择去第一餐厅的概率为，所以去第一餐厅就餐的人数，所以，所以选项D正确.故选ACD.13.答案：2解析：作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.观察可知,当直线过点时,
9、取得最大值,最大值为2.14.答案：120解析:先安排3个歌舞类节目，它们的次序有四种可能:1，3，5或2，4，6或1，3，6或1，4，6.对于前两种情况，其余节目任意排，共有种排法；对于后两种情况，要注意2个小品类节目不相邻，共有种排法.综上所述，共有120种排法.15.答案：解析：点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离.以点为原点,分别以的方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系,则,设,则,取,则.又异面直线与的距离.16.答案：解析：因为,所以.所以当时,两式相减,得,所以;当时,所以.综上所述,.17.答案：（1）因为，所以由正弦定理，得，即.由余弦定理，得.又，故.（2）由1知
10、，则.因为，所以，故因为，所以.18.答案：(1)设等比数列的公比为,因为成等差数列,所以,即,可得,于是.又,所以等比数列的通项公式为.(2)当为奇数时,随的增大而减小,所以;当为偶数时,随的增大而减小,所以.故对于,有.19.答案：(1)依题意,解得.这500个苹果的质量的平均值为(克).(2)依题意,质量在的苹果分别有4个和2个. 记质量在的苹果为,质量在的苹果为,随机抽取2个,可能的情况有,共有15种情况.其中满足条件的有,共6种情况. 故所求概率为.20.答案：解：（1）在长方体中，平面平面，所以.因为，所以，所以，则.因为，所以，则.又平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，设与交于点F，连接，则.易知，在矩形中，易知，所以.21.答案：.当时,恒成立,在上单调递增.当时,令,解得.当时,函数在上单调递增,当时,函数在上单调递减.当时,令,解得,当时,函数在上单调递增,当时,函数在上单调递减.22.答案：(1)由与相交于不同的两点,知方程组有两组不同的实数解,消去并整理,得,所以,解得且.双曲线的离心率,因为且,所以且,即离心率的取值范围为.(2)设,由题意知.因为,所以,所以.因为都是(1)中方程的根,且,所以,消去,得,因为,所以.
