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2016版高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用理科)配套文档:专题二 函数与导数 第4讲.docx

上传人:高**** 文档编号:251001 上传时间:2024-05-27 格式:DOCX 页数:18 大小:365.73KB
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1、第4讲导数的热点问题(2014课标全国)设函数f(x)aexln x,曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)1.利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题,高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合,难度较大.热点一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一,可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值,以及构造函数解题的能力例1已知函数f(x)ln xx3.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)证明:在(1,)上,f(x)20;(3)求证:(n2,nN*)思维升华用导数证明不等式的方法(1)利用单调性:若f(x)在a,b

2、上是增函数,则xa,b,则f(a)f(x)f(b),对x1,x2a,b,且x1x2,则f(x1)f(x2)对于减函数有类似结论(2)利用最值:若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则对xD,则f(x)M(或f(x)m)(3)证明f(x)g(x),可构造函数F(x)f(x)g(x),证明F(x)1时,f(x)g(x);(3)是否存在正实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由提醒:完成作业专题二第4讲二轮专题强化练专题二 第4讲导数的热点问题A组专题通关1已知a0,函数f(x)x3ax在1,)上是单调增函数,则a的最大值是()A0 B1C2 D32已知R

3、上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x22x3)f(x)0的解集为()A(,2)(1,)B(,2)(1,2)C(,1)(1,0)(2,)D(,1)(1,1)(3,)3若不等式2xln xx2ax3恒成立,则实数a的取值范围为()A(,0) B(,4C(0,) D4,)4设函数f(x)x34xa(0a2)有三个零点x1,x2,x3,且x1x21 Bx20C0x225(2015福建)“对任意x,ksin xcos xx”是“k1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是_7已知函数f(

4、x)x24x3ln x在t,t1上不单调,则t的取值范围是_8已知函数f(x)x3x23x,直线l:9x2yc0,若当x2,2时,函数yf(x)的图象恒在直线l下方,则c的取值范围是_9已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时,求f(x)的图象在x1处的切线方程;(2)若函数g(x)f(x)axm在,e上有两个零点,求实数m的取值范围B组能力提高10对于R上可导的任意函数f(x),若满足0,则必有()Af(0)f(2)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)1恒成立,则实数a的取值范围为_13(2015课标全国)已知函数f(x)x3ax,g(x)ln x.(1)

5、当a为何值时,x轴为曲线yf(x)的切线;(2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数学生用书答案精析第4讲导数的热点问题高考真题体验(1)解函数f(x)的定义域为(0,),f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2,f(1)e.故a1,b2.(2)证明由(1)知,f(x)exln xex1,从而f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x,则g(x)1ln x.所以当x(0,)时,g(x)0.故g(x)在(0,)上单调递减,在(,)上单调递增,从而g(x)在(0,)上的最小值为g().设函数h

6、(x)xex,则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,)时,h(x)0时,g(x)h(x),即f(x)1.热点分类突破例1(1)解f(x)(x0)解f(x)0得x(1,);解f(x)f(1)即f(x)2,所以f(x)20.(3)证明由(1)可知,当x(1,)时,f(x)f(1),即ln xx10,0ln xx1对一切x(1,)成立n2,nN*,则有0ln nn1,0.1时,f(x)0恒成立,即ln x0,等价于k1时,h(x)0,函数h(x)在(1,)上单调递增,故h(x)h(1)0.从而,当x1时,g(x)0,即函数g(x)在(1,)上单调递增,故g(x)g(1).

7、因此,当x1时,k0得x,由f(x).所以f(x)的单调递增区间为,递减区间为.所以f(x)maxfc.(2)由已知|ln x|f(x)得|ln x|c,x(0,),令g(x)|ln x|,yc.当x(1,)时,ln x0,则g(x)ln x.所以g(x)0.所以g(x)在(1,)上单调递增当x(0,1)时,ln x1x0,所以1,而2x11.所以g(x)0,即g(x)在(0,1)上单调递减由可知,当x(0,)时,g(x)g(1).由数形结合知,当c时,方程|ln x|f(x)根的个数为2.跟踪演练2解函数f(x)无零点方程ln xax,即a在(0,)上无实数解令g(x),则g(x),由g(x

8、)0,得xe.在区间(0,e)上,g(x)0,函数g(x)单调递增;在区间(e,)上,g(x),即所求实数a的取值范围为(,)例3解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元,底面的总成本为160r2元所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得200rh160r212 000,所以h(3004r2),从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0,又由h0可得r0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r(5,5)时,V(r)0,故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知,V(r)在r5处取得最大值,此时h8.即当r5,h8时,该蓄水池的体积最大跟踪演练3解析设剪成的两块

9、中是正三角形的那一块边长为x m,则梯形的周长为x(1x)(1x)13x,梯形的面积为x2,s(0x1),对s求导得s.令s0,得x或x3(舍去)当x(0,)时,s0.smins().高考押题精练(1)解f(x)xln x,f(x)1,当0x1时,f(x)0,此时f(x)单调递减;当10时,此时f(x)单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)证明f(x)的极小值为1,f(x)在(0,e上的最小值为1,即f(x)min1.又g(x),当0x0,g(x)在(0,e上单调递增g(x)maxg(e),在(1)的条件下,f(x)g(x).(3)解假设存在正实数a,使f(x)axln x(x(0,e)

10、有最小值3,则f(x)a.当00等价于或解得x(,1)(3,)或x(1,1)3B条件可转化为a2ln xx恒成立设f(x)2ln xx,则f(x)(x0)当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,所以f(x)minf(1)4.所以a4.4C求导得f(x)3x24,令f(x)3x240,得x.当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表:x(,)(,)(,)f(x)00f(x)极大值极小值又f(1)3a0,f(0)a0,f(1)a30,由以上信息得f(x)的大致图象如图所示,可知0x21.故选C.5Bx,ksin xcos xxx,k,令f(x)2xsin 2x.f(x)22cos

11、2x0,f(x)在为增函数,f(x)f(0)0.2xsin 2x,1,k1,故选B.6(4,0)解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可,又f(x)3x26x3x(x2),令f(x)0,得x10,x22,当x0;当0x2时,f(x)2时,f(x)0,所以当x0时,f(x)取得极大值,即f(x)极大值f(0)a;当x2时,f(x)取得极小值,即f(x)极小值f(2)4a,所以解得4a0.70t1或2t3解析f(x)x4,由f(x)0得函数的两个极值点1,3,则只要这两个极值点在区间(t,t1)内,函数在区间t,t1上就不单调,由t1t1或t3t1,解得0t1或2t3

12、.8(,6)解析根据题意知x3x23xx3x2x,设g(x)x3x2x,则g(x)x22x,则g(x)0恒成立,所以g(x)在2,2上单调递增,所以g(x)maxg(2)3,则c6.9解(1)当a2时,f(x)2ln xx22x,f(x)2x2,切点坐标为(1,1),切线的斜率kf(1)2,则切线方程为y12(x1),即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m,则g(x)2x.x,e,当g(x)0时,x1.当x0;当1xe时,g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又g()m2,g(e)m2e2,g(e)g()4e20,则g(e)g()g(x)在,e上的最小值是g(e)g(x)在

13、,e上有两个零点的条件是解得1m2,实数m的取值范围是(1,210A由条件知,当x1时,f(x)1时,f(x)0,所以当x1时,f(x)取得最小值,所以有f(0)f(1),f(2)f(1),故有f(0)f(2)2f(1)11,)解析f(x)exxexex(1x),当x1时,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,函数f(x)单调递减所以函数f(x)的最小值为f(1).而函数g(x)的最大值为a,则由题意,可得a即a.1215,)解析,表示点(p1,f(p1)与点(q1,f(q1)连线的斜率,因为p,q(0,1),所以1p12,1q11在(1,2)内恒成立由定义域可知x1,所以f

14、(x)2x1,即12x,所以a(12x)(x1)成立设y(12x)(x1),则y2x23x12(x)2,当1x2时,函数y2(x)2的最大值为15,所以a15,即a的取值范围为15,)13解(1)设曲线yf(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)0,f(x0)0.即解得x0,a.因此,当a时,x轴为曲线yf(x)的切线(2)当x(1,)时,g(x)ln x0,从而h(x)minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,)无零点当x1时,若a,则f(1)a0,h(1)minf(1),g(1)g(1)0,故x1是h(x)的零点;若a,则f(1)0,h(1)minf(1),g(1)f(1)0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数()若a3或a0,则f(x)3x2a在(0,1)无零点,故f(x)在(0,1)单调而f(0),f(1)a,所以当a3时,f(x)在(0,1)有一个零点;当a0时,f(x)在(0,1)没有零点()若3a0,即a0,f(x)在(0,1)无零点;若f 0,即a,则f(x)在(0,1)有唯一零点;若f 0,即3a,由于f(0),f(1)a,所以当a时,f(x)在(0,1)有两个零点;当3或a时,h(x)有一个零点;当a或a时,h(x)有两个零点;当a时,h(x)有三个零点

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