1、第4讲导数的热点问题(2014课标全国)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1.利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.热点一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力例1已知函数f(x)ln xx3.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：在(1，)上，f(x)20；(3)求证：(n2，nN*)思维升华用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b
2、上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)，对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2)对于减函数有类似结论(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，则f(x)M(或f(x)m)(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)1时，f(x)g(x)；(3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由提醒：完成作业专题二第4讲二轮专题强化练专题二 第4讲导数的热点问题A组专题通关1已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是()A0 B1C2 D32已知R
3、上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x22x3)f(x)0的解集为()A(，2)(1，)B(，2)(1,2)C(，1)(1,0)(2，)D(，1)(1,1)(3，)3若不等式2xln xx2ax3恒成立，则实数a的取值范围为()A(，0) B(，4C(0，) D4，)4设函数f(x)x34xa(0a2)有三个零点x1，x2，x3，且x1x21 Bx20C0x225(2015福建)“对任意x，ksin xcos xx”是“k1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_7已知函数f(
4、x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_8已知函数f(x)x3x23x，直线l：9x2yc0，若当x2,2时，函数yf(x)的图象恒在直线l下方，则c的取值范围是_9已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在，e上有两个零点，求实数m的取值范围B组能力提高10对于R上可导的任意函数f(x)，若满足0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)1恒成立，则实数a的取值范围为_13(2015课标全国)已知函数f(x)x3ax，g(x)ln x.(1)
5、当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；(2)用minm，n表示m，n中的最小值，设函数h(x)minf(x)，g(x)(x0)，讨论h(x)零点的个数学生用书答案精析第4讲导数的热点问题高考真题体验(1)解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x(0，)时，g(x)0.故g(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g().设函数h
6、(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.热点分类突破例1(1)解f(x)(x0)解f(x)0得x(1，)；解f(x)f(1)即f(x)2，所以f(x)20.(3)证明由(1)可知，当x(1，)时，f(x)f(1)，即ln xx10，0ln xx1对一切x(1，)成立n2，nN*，则有0ln nn1，0.1时，f(x)0恒成立，即ln x0，等价于k1时，h(x)0，函数h(x)在(1，)上单调递增，故h(x)h(1)0.从而，当x1时，g(x)0，即函数g(x)在(1，)上单调递增，故g(x)g(1).
7、因此，当x1时，k0得x，由f(x).所以f(x)的单调递增区间为，递减区间为.所以f(x)maxfc.(2)由已知|ln x|f(x)得|ln x|c，x(0，)，令g(x)|ln x|，yc.当x(1，)时，ln x0，则g(x)ln x.所以g(x)0.所以g(x)在(1，)上单调递增当x(0,1)时，ln x1x0，所以1，而2x11.所以g(x)0，即g(x)在(0,1)上单调递减由可知，当x(0，)时，g(x)g(1).由数形结合知，当c时，方程|ln x|f(x)根的个数为2.跟踪演练2解函数f(x)无零点方程ln xax，即a在(0，)上无实数解令g(x)，则g(x)，由g(x
8、)0，得xe.在区间(0，e)上，g(x)0，函数g(x)单调递增；在区间(e，)上，g(x)，即所求实数a的取值范围为(，)例3解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大跟踪演练3解析设剪成的两块
9、中是正三角形的那一块边长为x m，则梯形的周长为x(1x)(1x)13x，梯形的面积为x2，s(0x1)，对s求导得s.令s0，得x或x3(舍去)当x(0，)时，s0.smins().高考押题精练(1)解f(x)xln x，f(x)1，当0x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当10时，此时f(x)单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)证明f(x)的极小值为1，f(x)在(0，e上的最小值为1，即f(x)min1.又g(x)，当0x0，g(x)在(0，e上单调递增g(x)maxg(e)，在(1)的条件下，f(x)g(x).(3)解假设存在正实数a，使f(x)axln x(x(0，e)
10、有最小值3，则f(x)a.当00等价于或解得x(，1)(3，)或x(1,1)3B条件可转化为a2ln xx恒成立设f(x)2ln xx，则f(x)(x0)当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)minf(1)4.所以a4.4C求导得f(x)3x24，令f(x)3x240，得x.当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值又f(1)3a0，f(0)a0，f(1)a30，由以上信息得f(x)的大致图象如图所示，可知0x21.故选C.5Bx，ksin xcos xxx，k，令f(x)2xsin 2x.f(x)22cos
11、2x0，f(x)在为增函数，f(x)f(0)0.2xsin 2x，1，k1，故选B.6(4,0)解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22，当x0；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，所以解得4a0.70t1或2t3解析f(x)x4，由f(x)0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t，t1)内，函数在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，解得0t1或2t3
12、.8(，6)解析根据题意知x3x23xx3x2x，设g(x)x3x2x，则g(x)x22x，则g(x)0恒成立，所以g(x)在2,2上单调递增，所以g(x)maxg(2)3，则c6.9解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.x，e，当g(x)0时，x1.当x0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又g()m2，g(e)m2e2，g(e)g()4e20，则g(e)g()g(x)在，e上的最小值是g(e)g(x)在
13、，e上有两个零点的条件是解得1m2，实数m的取值范围是(1,210A由条件知，当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取得最小值，所以有f(0)f(1)，f(2)f(1)，故有f(0)f(2)2f(1)11，)解析f(x)exxexex(1x)，当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递减所以函数f(x)的最小值为f(1).而函数g(x)的最大值为a，则由题意，可得a即a.1215，)解析，表示点(p1，f(p1)与点(q1，f(q1)连线的斜率，因为p，q(0,1)，所以1p12,1q11在(1,2)内恒成立由定义域可知x1，所以f
14、(x)2x1，即12x，所以a(12x)(x1)成立设y(12x)(x1)，则y2x23x12(x)2，当1x2时，函数y2(x)2的最大值为15，所以a15，即a的取值范围为15，)13解(1)设曲线yf(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)0，f(x0)0.即解得x0，a.因此，当a时，x轴为曲线yf(x)的切线(2)当x(1，)时，g(x)ln x0，从而h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故h(x)在(1，)无零点当x1时，若a，则f(1)a0，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故x1是h(x)的零点；若a，则f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数()若a3或a0，则f(x)3x2a在(0,1)无零点，故f(x)在(0,1)单调而f(0)，f(1)a，所以当a3时，f(x)在(0,1)有一个零点；当a0时，f(x)在(0,1)没有零点()若3a0，即a0，f(x)在(0,1)无零点；若f 0，即a，则f(x)在(0,1)有唯一零点；若f 0，即3a，由于f(0)，f(1)a，所以当a时，f(x)在(0,1)有两个零点；当3或a时，h(x)有一个零点；当a或a时，h(x)有两个零点；当a时，h(x)有三个零点