1、3函数的单调性和最值新课程标准解读核心素养1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性数学抽象2.理解单调性的作用和实际意义逻辑推理、数学运算3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义数学抽象、数学运算第1课时函数的单调性德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后89小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y (百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯
2、遗忘曲线”问题当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？知识点一增函数、减函数的概念设函数yf(x)的定义域是D：(1)如果对于任意的x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数yf(x)是增函数特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数yf(x)在区间I上单调递增(2)如果对于任意的x1，x2D，当x1f(x2)，那么就称函数yf(x)是减函数特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数yf(x)在区间I上单调递减1对区间D的要求函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分2x1，x2的三个特征(1)同区
3、间性，即x1，x2D；(2)任意性，即不可用区间D上的两个特殊值代替x1，x2；(3)有序性，即需要区分大小，通常规定x1x2.3自变量的大小与函数值的大小关系(1)单调递增：x1x2f(x1)f(x2)；(2)单调递减：x1f(x2) 下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)的是_(填序号)f(x)x2；f(x)；f(x)|x|；f(x)2x1.答案：知识点二函数的单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数yf(x)在区间I上具有单调性，区间I为函数yf(x)的单调区间1函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是
4、在整个定义域上不一定是单调增(减)函数如函数y(x0)在区间(，0)和(0，)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性 2一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”或“，”连接如函数y(x0)在区间(，0)和(0，)上都是减函数，不能认为y(x0)的单调减区间为(，0)(0，)1区间A一定是函数的定义域吗？提示：不一定，可能是定义域的一部分2函数y在定义域上是减函数吗？提示：y在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(，0)，(0，)1下列函数中，在R上是增函数的是()Ay|x|ByxCyx2 Dy解析：选B根据题意，依次分析选项：对于A，y|x|在R上
5、不是增函数，不符合题意；对于B，yx是正比例函数，在R上是增函数，符合题意；对于C，yx2是二次函数，在R上不是增函数，不符合题意；对于D，y是反比例函数，在R上不是增函数，不符合题意2如图所示的是定义在区间5，5上的函数yf(x)的图象，则函数的单调递减区间是_，在区间_上是增函数解析：观察图象可知单调递增区间为5，2，1，3，单调递减区间为2，1，3，5答案：2，1和3，55，2和1，33若函数f(x)ax3在R上单调递增，则a的取值范围为_答案：(0，)利用定义判断或证明函数的单调性例1判断函数f(x)在区间(1，)上的单调性，并用单调性的定义证明解函数f(x)在区间(1，)上是减函数证
6、明如下：任取x1，x2(1，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).x10，又x1，x2(1，)，x2x10，x10，x10.0，即f(x1)f(x2)f(x)在区间(1，)上单调递减利用定义证明函数单调性的步骤 跟踪训练1(多选)下列函数在(，0)上为增函数的是()Ay|x|1ByCy Dyx解析：选CDy|x|1x1(x0)在(，0)上为减函数；y1(x0)在(，0)上既不是增函数也不是减函数；yx(x0)在(，0)上是增函数；yxx1(x0)在(，0)上也是增函数，故选C、D.2利用单调性的定义，证明函数y在(1，)上是减函数证明：任取x1，x2(1，)，且x1x2，则f(x1)f(x2
7、).因为1x10，x110，x210，所以0，即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)所以y在(1，)上是减函数.求函数的单调区间例2(链接教科书第63页B组2题)已知函数f(x)x24|x|3，xR.(1)画出函数的图象；(2)根据图象写出它的单调区间解(1)f(x)x24|x|3图象如图所示：(2)由图象可知函数f(x)的单调递增区间为(2，0)，(2，)，单调递减区间为(，2，0，2求函数单调区间的2种方法(1)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；(2)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间 跟踪训练求函数f(x)的单调减区间解：函数f(x)的定义域为(，1)(1，
8、)，设x1，x2(，1)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x20，x110，x210，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，)上单调递减综上，函数f(x)的单调递减区间是(，1)，(1，).函数单调性的应用例3(1)若函数f(x)x22(a1)x3在区间(，3上是增函数，则实数a的取值范围是_；(2)已知函数yf(x)是(，)上的增函数，且f(2x3)f(5x6)，则实数x的取值范围为_解析(1)f(x)x22(a1)x3的开口向下，要使f(x)在(，3上是增函数，只需(a1)3，即a4.实数a的取值范围为(，4(2)f(x)在(，)上
9、是增函数，且f(2x3)f(5x6)，2x35x6，即x.x的取值范围为.1利用单调性比较大小或解不等式的方法(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域2已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法(1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围；(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围 跟踪训练1若函数f(x
10、)在(，1上是增函数，则下列关系式中成立的是()Aff(1)f(2)Bf(1)ff(2)Cf(2)f(1)fDf(2)ff(1)解析：选Df(x)在(，1上是增函数，且21，f(2)ff(1)故选D.2若f(x)是定义在0，)上的减函数，则不等式f(x)f(2x8)的解集是_解析：依题意，得不等式组解得x4.答案：复合函数yf(g(x)的单调性典例已知函数f(x)，x2，6(1)试判断此函数在x2，6上的单调性；(2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤提示：(1)函数f(x)可分解为函数y和函数ux1.因为x2，6，所以u1，5，显然函数ux1在x2，6上单调递增，函数y在u1，5上单调递减
11、，由复合函数的单调性，知f(x)在x2，6上单调递减(2)解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性结论复合函数的单调性：一般地，对于复合函数yf(g(x)，单调性如表所示，简记为“同增异减”.g(x)f(x)f(g(x)增增增增减减减增减减减增迁移应用求函数f(x)的单调区间解：由题意可知82xx20，解得4x2，函数f(x)的定义域为4，2设y，u82xx2.二次函数u82xx2(x1)29的单调递增区间是(，1，单调递减区间是(1，)函数yf(x)的单调递增区间是4，1，单调递减区间是(1，21函数f(x)在R上是减
12、函数，则有()Af(3)f(5) Df(3)f(5)解析：选C因为函数f(x)在R上是减函数，3f(5)2函数f(x)x22x3的单调减区间是()A(，1) B(1，)C(，2) D(2，)解析：选B易知函数f(x)x22x3是图象开口向下的抛物线，其对称轴为x1，所以其单调减区间是(1，)3若函数yax与y在(0，)上都单调递增，则函数yax2bx在(0，)上()A单调递增 B单调递减C先增后减 D先减后增解析：选A由于函数yax与y在(0，)上均单调递增，故a0，b0，故二次函数f(x)ax2bx的图象开口向上，且对称轴为直线x0B(x1x2)f(x1)f(x2)0Cf(a)f(x1)x2，则f(x1)f(x2)，故C不正确；对于D，因为f(x)在区间a，b上单调，且x1x2，所以f(x1)f(x2)，故D正确5已知函数yx24ax在区间1，2上单调递减，则实数a的取值范围是_解析：根据题意，知函数yx24ax为二次函数，且开口向下，其对称轴为x2a，若其在区间1，2上单调递减，则2a1，所以a，即a的取值范围为.答案：
