1、4.2.2对数运算法则学 习 任 务核 心 素 养(教师独具)1理解对数的运算性质(重点)2能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数(难点)3会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易错点、重点)1通过对数运算法则的学习，培养数学运算核心素养2通过对数换底公式的学习，提升逻辑推理素养.大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则中，得出相应对数的运算法则吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算法则呢？问题：观察下列各式，你能从中猜想出什么结论吗？log2(24)log22log243；log3(39)log33log393；log2(48)log24lo
2、g285.提示如果a0，且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN成立.知识点1对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，R，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN；loga(N1N2Nk)logaN1logaN2logaNk(Ni0，i1,2，k)(2)logaMlogaM.(3)logalogaMlogaN.1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差()(2)loga(xy)logaxlogay.()(3)loga(2)33loga(2)()提示(1).根据对数的运算性质可知(1)正确；(2).根据对数的运算性质可知loga(
3、xy)logaxlogay；(3).公式logaMnnlogaM(nR)中的M应为大于0的数答案(1)(2)(3)2计算log84log82等于()Alog86B8C6D1Dlog84log82log8(42)log881知识点2换底公式logab(a0且a1，b0，c0且c1)特别地：logablogba1(a0且a1，b0且b1)如何准确地应用换底公式？提示(1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择(2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个底数的对数，再根据运算法则
4、进行化简与求值(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用logab；logambnlogab，其中a0且a1，b0且b1，m，nR.3.log35log56log69_.2原式2. 类型1利用对数的运算法则求值【例1】(对接教材P22例2)(1)计算82lg 2lg 的值为_(2)计算：log3lg 4lg 25_.(3)计算：lg；log2(4725)；(lg 2)2lg 20lg 5.(1)(2)(1)原式(23)lg 4(lg 1lg 25)lg(425)2.(2)原式lg 102121.(3)解lglg 102lg 10.log2(4725)log247log225log2227log2
5、2527519.(lg 2)2lg 20lg 5(lg 2)2(1lg 2)(1lg 2)(lg 2)21(lg 2)21对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行(2)两种常用的方法：“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)计算下列各式的值：(1)2log23log2log277；(2)log3lg 25lg 4log2(log216)解(1)2log23log2log277log29log2log272l
6、og22321(2)原式log33lg(254)222. 类型2对数运算法则的综合应用【例2】(1)已知log312a，试用a表示log324；(2)设alg 2，blg 3，试用a，b表示lg.思路探究对数运算对数运算法则的应用解(1)log312log3(34)12log32a，所以log32，log324log3(83)13log3213.(2)因为1084272233，所以lglg 108lg(2233)lg 22lg 33lg 2lg 3ab.(变结论)本例(2)中的条件不变，如何用a，b表示lg ？解lglg 9lg 52lg 3(1lg 2)2ba1应用对数求值应注意的三点(1)
7、利用对数的定义可以将对数式转化为指数式(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题 类型3对数换底公式的应用1假设x，则log25xlog23，即log25log23x，从而有3x5，进一步可以得到什么结论？提示进一步可以得到xlog35，即log35.2由尝试与发现1，你能猜测与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？提示logab.假设x，则logcbxlogca，即logcblogcax，所以bax，则xlogab，所以logab.【例3】已知3a4bc，且2，求实数c的值思
8、路探究先把指数式化为对数式，再利用换底公式转化为同底的对数运算解由3a4bc，得：alog3c，blog4c，所以logc3，logc4.又2，所以logc3logc4logc122，即c212，又3a4bc0，所以c2.1(变条件)将本例中的条件“2”改为“2”，则实数c又为多少？解由3a4bc得：alog3c，blog4c，所以logc3，logc4.又2，所以logc3logc4logc2，即c2，又3a4bc0，所以c.2(变结论)将本例条件改为“已知正数a，b，c满足3a4b6c”，求证：.证明设3a4b6ck(k1)，则alog3k，blog4k，clog6k，所以logk6log
9、k3logklogk2，logk4logk2，所以.利用换底公式求值的思想与注意点1若2a3b(ab0)，则log32()ABCabDA2a3balg 2blg 3，所以log32.2(多选题)下列结论正确的是()Aloga(xy)logaxlogayBlogyxClogalogaxlogayDlogaBC由对数的运算性质，知AD错误，故BC正确3若log545a，则log53()ABCDD因为log545log5(59)1log5912log53a，所以log53.4计算：log25log2_.1原式log2log2215若3a2，则2log36log38_.2a3a2，alog32，2lo
10、g36log382(log32log33)3log32log3222a.回顾本节内容，自我完成以下问题：1对数的运算法则有哪些？其适用条件是什么？提示(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logaMlogaM；(3)logalogaMlogaN.以上各式适用条件是a0且a1，M0，N0，R.2换底公式的内容是什么？如何利用换底公式解决问题？提示logab(a0且a1，b0，c0且c1)利用换底公式可解决化简、求值与证明问题：利用换底公式将不同底数的对数式转化成同底数的对数式时，为了运算便捷，应选择合适的底数，若无明确思路，可将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算另外，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用3在对数运算性质、换底公式的应用时，注意什么问题？提示应用对数运算性质、对数换底公式时忽略条件或将公式记忆错误
