1、13.3 空间向量运算的坐标表示课时过关能力提升1.在空间直角坐标系中,已知点 A 的坐标为(-1,2,1),点 B 的坐标为(1,3,4),则()A B C D 解析:故选C.答案:C2.与向量 a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标为()A.(1,3,2)B.(-1,-3,2)C.(-1,3,-2)D.(1,-3,-2)答案:C3.若向量 a=(x,0,3)(xR),则“x=4”是“|a|=5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2解析:|a|2=x2+9=25,解方程,得 x=4,故 x=4 是|a|=5 的充分不必要条件,选 A.答案:A4.
2、已知向量 a=(2,0,1),b=(-1,2,0),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 的值是()A.1B C 解析:ka+b=k(2,0,1)+(-1,2,0)=(2k-1,2,k),2a-b=2(2,0,1)-(-1,2,0)=(5,-2,2),所以 5(2k-1)-4+2k=0,解得 k 答案:C5.若ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则ABC 的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析:由 得A 为锐角;由 得C 为锐角;由 得B 为锐角.所以ABC 为锐角三角形.答案:A36.在正方体 A
3、BCD-A1B1C1D1中,M,N 分别为棱 AA1和 BB1的中点,则 sin 的值为 A 解析:设正方体的棱长为 2,以 D 为原点建立如图所示空间直角坐标系,则 cos 0,180,sin 答案:B7.若 a=(x,3,1),b=(2,y,4),且 a=zb,则 c=(x,y,z)=.解析:由 a=zb,得 解得 答案:()8.已知 A(1,0,0),B(0,-1,1)与 的夹角为 则 的值为 答案:49.已知 a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),则|a-b|的最小值是 .解析:a-b=(-1-t,t-1,-t),|a-b|2=(-1-t)2+(t-1)2+(-t)2=3t
4、2+2.当 t=0 时,|a-b|取得最小值,为 答案:10.已知空间三点 A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5),设 a b (1)求 AB 的长及|a-b|;(2)求 cos.解:(1)a b a-b AB=-|a-b|-(2)由(1),知 -cos -11.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若 求点 的坐标(2)问是否存在实数,使得 成立 若存在 求出 的值 若不存在 说明理由 5解:(1)设 D(x,y,z),则 因为 所以存在实数m,n,使得 所以 -解得 -即D(-1,1,2).(2)依题意,得 假设存在实数,使得 成立,则有(-1
5、,0,2)=(-1,1,0)+(0,-1,2)=(-,-,2),所以 -故存在=1 使得 成立.12.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G 分别是 DD1,BD,BB1的中点.(1)求证:EFCF;(2)求 CE 的长;(3)求异面直线 EF 与 CG 所成角的余弦值.(1)证明以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,6则 D(0,0,0),()C(0,1,0),()()所以 (-)(-)()()因为 (-)(-)所以 即EFCF.(2)解|CE|=-()(3)解因为 (-)()()()()所以 cos 又因为异面直线所成角的范围是0,90,所以异面直线 EF 与 CG 所成角的余弦值为
