1、考点规范练24三角恒等变换基础巩固1.(2021湖南长郡中学模拟)设sin 20=m,cos 20=n,化简tan10+11-tan10-11-2sin210=()A.mnB.-mnC.nmD.-nm2.已知0,2,2sin 2=cos 2+1,则sin =()A.15B.55C.33D.2553.已知函数f(x)=3sin x+cos x(0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是2,则该函数的一个单调递增区间为()A.6,23B.-512,12C.-3,6D.-3,234.(2021安徽黄山高三质检)已知tan2-4tan +1=0,则cos2+4=()A.12B.13C.14D.155.(2
2、021江苏南京师大附中高三月考)若sin 160+tan 20=3,则实数的值为()A.3B.32C.2D.46.(2021河北唐山一中月考)若sin 2=55,sin(-)=1010,且4,32,则+的值是()A.74B.94C.54或74D.54或947.已知函数f(x)=cos4x-3+2cos22x,将函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的一个单调递增区间为()A.-3,6B.-4,4C.6,23D.4,348.(2021江苏南京三模)已知cos-6=34,则sin2+6+
3、cos22-12的值为()A.14B.12C.378D.19.设f(x)=1+cos2x2sin2-x+sin x+a2sinx+4的最大值为2+3,则实数a=.10.已知点4,1在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上.(1)求a的值和f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间(0,)内的单调递减区间.11.(2021广西崇左高中月考)已知函数f(x)=3sin xcos x+sin2x-12.(1)求f(x)图象的对称中心的坐标;(2)若A12,3,f(A)=13,求cos2A-56的值.能力提升12.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的四
4、个结论:P1:最大值为2;P2:把函数y=2sin 2x-1的图象向右平移4个单位长度后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的图象;P3:单调递增区间为k+78,k+118,kZ;P4:图象的对称中心为k2+8,-1,kZ.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个13.设,0,2,且tan -tan =1cos,则()A.3+=2B.2+=2C.3-=2D.2-=214.(2021广西桂林模拟)已知sin =13,cos+6=12,0,2,则cos-+3=.15.已知sin +cos =3-12,-4,4.(1)求的值;(2)设函数f(x)=sin2x-sin
5、2(x+),xR,求函数f(x)的单调递增区间.高考预测16.已知f(x)=sin3x+3-3cos3x+3,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 020)=.17.已知向量a,b满足a=(-2sin x,3(cos x+sin x),b=(cos x,cos x-sin x),函数f(x)=ab(xR).(1)求f(x)在区间-2,0上的值域;(2)已知数列an=n2fn2-1124(nN*),求an的前2n项和S2n.答案：1.A解析因为sin20=m,cos20=n,所以tan10+11-tan10-11-2sin210=sin10+cos10cos10-sin10-1cos20=(s
6、in10+cos10)2(cos10-sin10)(cos10+sin10)-1cos20=1+2sin10cos10cos210-sin210-1cos20=1+sin20cos20-1cos20=sin20cos20=mn.2.B解析2sin2=cos2+1,4sincos=2cos2.0,2,cos0,sin0,2sin=cos.又sin2+cos2=1,5sin2=1,即sin2=15.sin0,sin=55.3.C解析f(x)=3sinx+cosx=2sinx+6.由题意得最小正周期T=,所以=2,所以f(x)=2sin2x+6.由-2+2k2x+62+2k,kZ,得-3+kx6+k
7、,kZ,故函数f(x)的单调递增区间为-3+k,6+k,kZ.令k=0,得函数f(x)的一个单调递增区间为-3,6.4.C解析由tan2-4tan+1=0,可得tan+1tan=4,所以sincos+cossin=4,即sin2+cos2cossin=4,即cossin=14.所以cos2+4=1+cos2+22=1-sin22=1-2sincos2=1-2142=14.5.D解析由sin160+tan20=3,可得sin20+sin20cos20=3,即sin20cos20=3cos20-sin20,所以2sin40=2sin(60-20)=2sin40,所以=4.6.A解析4,22,2.s
8、in2=55,22,4,2,cos2=-255.,32,-2,54,cos(-)=-31010,cos(+)=cos2+(-)=cos2cos(-)-sin2sin(-)=-255-31010-551010=22.又+54,2,+=74.7.B解析函数f(x)=cos4x-3+2cos22x=cos4x-3+1+cos4x=12cos4x+32sin4x+1+cos4x=32cos4x+32sin4x+1=3sin4x+3+1,则由题意,可得y=g(x)=3sin2x+1.由2k-22x2k+2,kZ,得k-4xk+4,kZ,当k=0时,得-4x4.故选B.8.D解析令-6=,则=+6,cos
9、=34,故sin2+6+cos22-12=sin2+2+cos22=2cos2-1+1+cos2=1.9.3解析f(x)=1+2cos2x-12cosx+sinx+a2sinx+4=cosx+sinx+a2sinx+4=2sinx+4+a2sinx+4=(2+a2)sinx+4.依题意有2+a2=2+3,则a=3.10.解(1)函数f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x.f(x)的图象过点4,1,1=asin2+cos2,可得a=1.f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+4.函数的最小正周期T=22=.(2)由2k+22x+432+2k,kZ,可得k+8
10、x58+k,kZ.函数f(x)的单调递减区间为k+8,58+k,kZ.x(0,),当k=0时,可得单调递减区间为8,58.11.解(1)f(x)=3sinxcosx+sin2x-12=32sin2x+1-cos2x2-12=sin2x-6,由2x-6=k,kZ,得x=12k+12,kZ,即f(x)图象的对称中心的坐标为12k+12,0,kZ.(2)由(1)及题意可得f(A)=sin2A-6=13,令=2A-6,则02,所以sin=13,cos=223,则cos2A-56=cos-23=coscos23+sinsin23=223-12+1332=3-226.12.B解析f(x)=2sinxcos
11、x-2cos2x=sin2x-cos2x-1=2sin2x-4-1,可得f(x)的最大值为2-1,P1错误;将y=2sin2x-1的图象向右平移4个单位长度后得到y=2sin2x-4-1=2sin2x-2-1的图象,P2错误;由-2+2k2x-42+2k,kZ,可解得-8+kx38+k,kZ,即单调递增区间为-8+k,38+k,kZ,即78+k,118+k,kZ,P3正确;由2x-4=k,kZ,得x=k2+8,kZ,图象的对称中心为k2+8,-1,kZ,P4正确.13.D解析tan-tan=1cos,sincos-sincos=1cos,sincos=1cos+sincos=1+sincos,
12、sincos=cos(1+sin)=cos+cossin,cos=sincos-cossin=sin(-),由诱导公式可得cos=sin(-)=cos2-(-),0,2,2-(-)(0,),=2-(-),变形可得2-=2.14.26-16解析因为0,2且sin=13,所以cos=1-sin2=223.又0,2,cos+6=12,所以+66,2,所以sin+6=1-cos2+6=32,所以cos-+3=cos-+6+2=-sin-+6=-sincos+6-cossin+6=-1312-22332=26-16.15.解(1)因为sin+cos=3-12,所以(sin+cos)2=sin2+cos2
13、+2sincos=1+sin2=3-122=2-32,即sin2=-32,又-4,4,所以2-2,2,所以2=-3,=-6.(2)由(1)可得=-6,则f(x)=sin2x-sin2x-6=12(1-cos2x)-121-cos2x-3=12-12cos2x-12+12cos2x-3=-12cos2x+1212cos2x+32sin2x=34sin2x-14cos2x=1232sin2x-12cos2x=12sin2x-6.令2k-22x-62k+2,kZ,则k-6xk+3,kZ,所以函数f(x)的单调递增区间为k-6,k+3,kZ.16.3解析根据题意,f(x)=212sin3x+3-32c
14、os3x+3=2sin3x+3-3=2sin3x,其周期T=23=6,且2020=3366+4,故f(1)+f(2)+f(2020)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2sin3+2sin23+2sin+2sin43=3.17.解(1)f(x)=ab=-sin2x+3cos2x=2sin2x+23,当x-2,0时,2x+23-3,23,可得2sin2x+23-3,2.即f(x)在区间-2,0上的值域为-3,2.(2)an=n2fn2-1124=2n2sin2n2-1124+23=2n2sinn-4,S2n=212-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2,又(2n-1)2-(2n)2=-4n+1,故S2n=2(-3-4n+1)n2=2(-2n2-n).9
