1、第二章基本初等函数（）一、课标要求：教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，掌握 f(x)=ax 的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.4.通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.5.理解对数的概念及其运算
2、性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.6.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=logax 符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.7.知道指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数（a0,a1），初步了解反函数的概念和 f-1(x)的意义.8.通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,yx yxyxyx的图象，了解它们的变
3、化情况.二、编写意图与教学建议：1.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.2.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.4.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂
4、函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.5.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.6.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.三、教学内容与课时安排的建议 本章教学时间约为 14 课时.2.1 指数函数：6 课时2.2 对数函数：6 课时2.3 幂函数：1 课时小结：1 课时2.1.1 指数（第 12 课时）一教学目标：1知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；
5、（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二重点、难点1教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2教学难点：分数指数幂及根式概念的理解三学法与教具1学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2教具：多媒体四、教学设想：第一课时一、复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中
6、的时候我们已经知道：若2xa，则 x 叫做 a 的平方根.同理，若3xa，则 x 叫做 a的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如 4 的平方根为 2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如8 的立方根为2；零的平方根、立方根均为零.二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出 n 次方根的概念.n 次方根：一般地，若nxa，则 x 叫做 a 的 n 次方根（throot），其中 n 1，且 n,当 n 为偶数时，a 的 n 次方根中，正数用 n a 表示，如果是负数，用n a表示，n a 叫做根式.n 为奇数时，a 的 n 次方根用符号 n a 表示，
7、其中 n 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当 n 为偶数时，一个数的 n 次方根有多少个？当 n 为奇数时呢？nnnanaanana为奇数,的 次方根有一个,为为正数:为偶数,的 次方根有两个,为nnanaanan为奇数,的 次方根只有一个,为为负数:为偶数,的 次方根不存在.零的 n 次方根为零，记为 00n举例：16 的次方根为 2，527527的 次方根为等等，而 27的 4 次方根不存在.小结：一个数到底有没有 n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清 n 为奇数和偶数两种情况.根据 n 次方根的意义，可得：()nn aa()nn aa肯定成
8、立，nna 表示 an 的 n 次方根，等式 nnaa一定成立吗？如果不一定成立，那么nna 等于什么？让学生注意讨论，n 为奇偶数和 a 的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n 为奇数，nnaan 为偶数,0|,0nnaaaaa a 如34334(3)273,(8)|8|8 小结：当 n 为偶数时，nna 化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：例题：求下列各式的值（1）33(1)(8)2(2)(1 0)44(3)(3)2(4)()ab分析：当 n 为偶数时，应先写|nnaa，然后再去绝对值.思考：()nnnnaa是否成立，举例说明.课堂练习：1.求出下列各式
9、的值473473(1)(2)(2)(33)(1)(3)(33)aaa2若2211,aaaa 求 的取值范围.3计算343334(8)(32)(23)三归纳小结：1根式的概念：若 n1 且*nN，则n,xaxan是 的 次方根,n为奇数时,=n 为偶数时，nxa；2掌握两个公式：(0),|(0)nnnaananaaa a n为奇数时,()为偶数时,3作业：P69 习题 2.1 A 组第 1 题第二课时提问：1习初中时的整数指数幂，运算性质？00,1(0),0naa a aa aa 无意义1(0)nnaaa;()mnm nm nmnaaaaa(),()n mmnnnnaaaba b什么叫实数？有理
10、数，无理数统称实数.2观察以下式子，并总结出规律：a 0105102 5255()aaaa884242()aaaa12123 43444()aaaa5105102 525()aaaa小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：2323(0)aaa12(0)bbb5544(0)ccc即：*(0,1)mnmnaaanNn为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：*(0,)mnmnaaam nN正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：*1(0,)mnmnaam n
11、Na规定：0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)nmmmmaaaaa由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0,)rsr saaaar sQ（2）()(0,)rSrsaaar sQ（3）()(0,0,)rrra ba b QbrQ若 a 0，P 是一个无理数，则 P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本 P62P62.即：2 的不足近似值，从由小于2 的方向逼近2，2 的过剩近
12、似值从大于2 的方向逼近2.所以，当2 不足近似值从小于2 的方向逼近时，25的近似值从小于25的方向逼近25.当2 的过剩似值从大于2 的方向逼近2 时，25的近似值从大于25的方向逼近25，(如课本图所示)所以，25是一个确定的实数.一般来说，无理数指数幂(0,)paap是一个无理数 是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考：32的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,)rsr saaaarR
13、sR()(0,)rsrsaaarR sR()(0,)rrra ba b arR3例题（1）（P60，例 2）求值解：2223323338(2)2241112()21222125(5)555 5151(5)1()(2)2322 334()344162227()()()81338（2）（P60，例 3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a 0）解：117333222.aaaaaa22823222333aaaaaa31442133332()a aa aaaa分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.课堂练习：P63 练习第 1，2，3，4 题补充练习：1.计算：1 22121(2)()24 8
14、nnn的结果2.若13107310333,384,()naaaaa求的值小结：1分数指数是根式的另一种写法.2无理数指数幂表示一个确定的实数.3掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.作业：P69习题2.1 第 2 题第三课时一教学目标1知识与技能：（1）掌握根式与分数指数幂互化；（2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.2过程与方法：通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.3情感、态度、价值观（1）培养学生观察、分析问题的能力；（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.二重点、难点：1重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.2难点：有理指数幂性质的灵活
15、应用.三学法与教具：1学法：讲授法、讨论法.2教具：投影仪四教学设想：1复习分数指数幂的概念与其性质2例题讲解例 1（P60，例 4）计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a ba ba b（2）31884()m n（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以
16、用单项式的运算顺序进行.第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.解：（1）原式=2 1 11 1 53 2 62 3 62(6)(3)ab =04ab=4 a（2）原式=318884()()mn=23m n例 2（P61 例 5）计算下列各式（1）34(25125)25（2）232(.aaaa0）分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.解：（1）原式=111324(25125)25=231322(55)5=2131322255=1655=6 55（2）原式=12522652 362132aaaaaa 小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.课堂练习：化简：（1）52932232(9)(10)100（2）32 232 2（3）a a a a归纳小结：1 熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.2含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.作业：P65习题 2.1A 组第 4 题B 组 第 2 题
