1、第六章数列6.1数列的概念必备知识预案自诊知识梳理1.数列的有关概念及一般形式概念含义数列按照排列的一列数数列的项数列中的数列的项数组成数列的一般形式a1,a2,a3,an,简记为通项数列一般形式中表示数列的第n项(也称n为an的序号,其中n为正整数),称为数列的通项2.数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数的数列无穷数列项数的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都它的前一项的数列常数列各项都的数列3.数列的通项公式一般地,如果数列的第n项an与之间的关系可以用来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称此关系式为这个数列的一
2、个通项公式.4.数列与函数的关系数列an可以看成定义域为的函数,数列中的数就是自变量取正整数值时对应的函数值,而数列的也就是相应函数的解析式.5.数列的递推公式如果已知数列的(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).温馨提示数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法;(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式6.数列的前n项和(1)一般地,给定数列an,称Sn=为数列an的前n项和.(2)Sn与an的关系
3、an=,n=1,n2.在数列an中,若an最大,则anan-1,anan+1.若an最小,则anan-1,anan+1.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(2)数列an和集合a1,a2,a3,an是一回事.()(3)若数列用图像表示,则从图像上看都是一群孤立的点.()(4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个.()(5)若数列an的前n项和为Sn,则对nN*,都有an=Sn-Sn-1.()2.已知数列an的通项公式为an=9+12n,则在下列各数中,不是an的项的是()A.21B.33C.152D.1533.已知数列an的
4、前4项依次为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项公式不可能是()A.an=(-1)n-1+1B.an=2,n为奇数,0,n为偶数C.an=2sin n2D.an=cos(n-1)+14.(2020天津河东区一模)设数列an的前n项和为Sn,且Sn=a1(4n-1)3,若a4=32,则a1=.5.已知数列an的前n项和公式为Sn=2n2-n+1,则数列an的通项公式为.关键能力学案突破考点由数列的前几项求数列的通项公式【例1】根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,;(2)-112,123,-134,145,;(3)23,415,635,863,1099
5、,;(4)5,55,555,5 555,.解题心得1.根据所给数列的前几项求其通项时,要注意观察每一项的特点,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征,相邻项的变化特征,拆项后的各部分特征,符号特征.进而观察an与n之间的关系,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.2.若此类问题为选择题,则可以利用给出数列的前几项进行检验排除,即可得到正确的选项.对点训练1(1)数列0,23,45,67,的一个通项公式为()A.an=n-1n+2(nN*)B.an=n-12n+1(nN*)C.an=2(n-1)2n-1(n
6、N*)D.an=2n2n+1(nN*)(2)按数列的排列规律猜想数列23,-45,67,-89,的第2 017项是()A.-20172018B.20172018C.40344035D.-40344035(3)已知数列1,-3,5,-7,则35是这个数列的第()项.A.20B.21C.22D.23考点由an与Sn的关系求通项公式an【例2】(1)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则an=.(2)已知数列an满足a1+2a2+3a3+nan=2n,则an=.(3)已知Sn为数列an的前n项和,且log2(Sn+1)=n+1,则数列an的通项公式为.解题心得1.已知Sn求an的流程(1
7、)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求出当n2时an的表达式;(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n2时的表达式合并.2.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.(1)利用an=Sn-Sn-1(n2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.对点训练2(1)已知数列an的前n项和Sn=4-12n(nN*),则数列an的通项公式为.(2)已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn-1,
8、则a10=()A.128B.256C.512D.1 024考点利用递推关系求通项公式【例3】在数列an中,a1=2,an+1=an+n+1,则an=.变式发散(1)若将本例中“an+1=an+n+1”改为“an+1=nn+1an”,如何求解?(2)若将本例中“an+1=an+n+1”改为“an+1=2an+3”,如何求解?(3)若将本例中“an+1=an+n+1”改为“an+1=2anan+2”,如何求解?(4)若将本例条件换为“a1=1,an+1+an=2n”,如何求解?解题心得由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1,且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an.(2)已知a
9、1(a10),且anan-1=f(n),可用“累乘法”求an.(3)已知a1,且an+1=qan+b,则an+1+k=q(an+k)(其中k可用待定系数法确定),可转化为an+k为等比数列.(4)形如an+1=AanBan+C(A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.对点训练3(1)已知数列an,bn,若b1=0,an=1n(n+1),当n2时,有bn=bn-1+an-1,则b2 017=.(2)已知数列an满足a1=2,an+1=an2(an0,nN*),则数列an的通项公式an=.(3)(2020山东、湖北部分重点中学联考)已知数列an的前n项和为Sn,若a1=
10、2,an+1=an+2n-1+1,则an=.(4)若a1=1,an+1=2nan,则数列an的通项公式an=.考点数列的性质(多考向探究)考向1数列的周期性【例4】在数列an中,a1=0,an+1=3+an1-3an,则S2 020=.解题心得解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.对点训练4数列an满足an+1=2an,0an12,2an-1,12an1的定义域为R,数列an(nN*)满足an=f(n),且an是递增数列,则实数a的取值范围是()A.(1,+)B.12,+C.(1,3)D.(3,+)解题心得解决数列的单调性问题的三种方法作差比
11、较法根据an+1-an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或常数列续表作商比较法根据an+1an(an0或an0)与1的大小关系进行判断数形结合法结合相应函数的图像直观判断对点训练5已知数列an满足an=(12-a)n+1,nan+1,则实数a的取值范围是()A.0,12B.12,712C.12,1D.712,1考向3数列的最大(小)项【例6】(1)已知数列an中,前n项和为Sn,且Sn=n+23an,则anan-1的最大值为()A.-3B.-1C.3D.1(2)已知数列an的通项公式为an=12n-15,其最大项和最小项分别为()A.1,-17B.0,-17C.17,-17D.1,-111
12、解题心得求数列的最大项、最小项的常用思想(1)利用“两边夹”思想设an为数列an中的最大项,则有anan-1,anan+1(n2).若设an为数列an中的最小项,则有anan+1,anan-1(n2).(2)利用函数思想构造函数,确定函数的单调性,再求出数列的最大(小)项.根据an对应函数的单调性确定,递增数列:a1a2a2an,故(an)max=a1.对点训练6(1)数列an的通项an=nn2+90,则数列an中的最大项的值是()A.310B.19C.119D.1060(2)若数列an的前n项和Sn=n2-10n(nN*),则数列nan中数值最小的项是()A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项
