1、4.6正弦、余弦定理与解三角形必备知识预案自诊知识梳理1.ABC的面积公式在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,记面积为S,则(1)S=12ab=12acsin B=12bcsin A=abc4R.(2)S=12ah(h表示a边上的高).(3)S=12r(a+b+c)(r为内切圆半径).2.正弦定理和余弦定理在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则正弦定理余弦定理语言表示在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍内容asinA=bsinB=csinC=2R(R为ABC外接圆的半径)a2
2、=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2cacos B;c2=a2+b2-2abcos C续表正弦定理余弦定理常见变形(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(2)sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R;(3)abc=sin Asin Bsin Ccos A=b2+c2-a22bc;cos B=a2+c2-b22ac;cos C=a2+b2-c22ab解决的问题(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角3.实际问题中
3、的常用角(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫做仰角,目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1).(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30、北偏西45、西偏北60等.(3)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如点B的方位角为(如图2).(4)坡角:坡面与水平面所成的二面角的平面角.1.在ABC中,常有以下结论(1)A+B+C=.(2)在三角形中大边对大角,大角对大边.(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-
4、tan C;sinA+B2=cosC2;cosA+B2=sinC2.(5)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.(6)ABabsin Asin Bcos Ac2,则C90;(3)若a2+b290.3.三角形中的射影定理在ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)在ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.()(3)在ABC中,
5、sin Asin B的充分不必要条件是AB.()(4)在ABC中,a2+b2c2是ABC为钝角三角形的充分不必要条件.()(5)在ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.()2.(2020北京房山区二模,2)在ABC中,若A=4,B=3,a=23,则b=()A.23B.32C.26D.333.(2020全国3,理7)在ABC中,cos C=23,AC=4,BC=3,则cos B=()A.19B.13C.12D.234.(2019全国2,理15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.5.(2020北京东城一模,14)ABC是等边三角
6、形,点D在边AC的延长线上,且AD=3CD,BD=27,则CD=,sinABD=.关键能力学案突破考点利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(1)(2019全国1,文11)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则bc=()A.6B.5C.4D.3(2)(2020河北石家庄二模,文5)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C+sin B),b=1,c=2,则ABC的面积为()A.12B.32C.1D.3解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理
7、解三角形.正弦定理的形式多样,其中a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC能够实现边角互化.2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的“有界性”和“大边对大角”进行判断.对点训练1(1)(2020福建福州三模,理15)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sin2A+cos B=1,则cb-a的取值范围为.(2)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin
8、 C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.考点判断三角形的形状【例2】(2020山东济宁5月模拟,17)在sin A,sin B,sin C成等差数列;sin B,sin A,sin C成等比数列;2bcos C=2a-3c三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S.若,且4S=3(b2+c2-a2),试判断ABC的形状.解题心得判断三角形的形状时主要有以下两种方法:(1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(
9、2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数之间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论.对点训练2设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定变式发散1若本题条件改为“asin A+bsin B0(=0,bsin Asin BAB.关键能力学案突破考点三角函数与三角变换的综合【例1】已知函数f(x)=4sin xcosx-3-3.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)图像的对称轴和对称中
10、心.解题心得1.解决三角变换在三角函数图像与性质中的应用的基本思路:通过变换把函数化为y=Asin(x+)的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.2.三角变换的总体思路是化异为同,目的是通过消元减少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次,或把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角.对点训练1(2020北京顺义区一模,16)函数f(x)=sin xcos x-3sin2x+32(0)的部分图像如图所示.(1)求的值;(2)求f(x)在区间-3,3上的最大值与最小值及对应的x的值.考点利用正、余弦定理解三角形【
11、例2】(2020新高考全国1,17)在ac=3,csin A=3,c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=3sin B,C=6,?解题心得在三角形中,已知两角一边能应用正弦定理求其余的边;已知两边及其夹角求夹角的对边或已知两边及一边的对角求另一边都能直接利用余弦定理求解.对点训练2(2020山东菏泽一模,17)在B=3,a=2,bcos A+acos B=3+1这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决相应问题.已知在锐角三角形ABC中,角
12、A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若4S=b2+c2-a2,b=6,且,求ABC的面积S的大小.考点三角函数与解三角形的综合【例3】(2020山东聊城二模,18)在acos B+bcos A=2ccos C,2asin Acos B+bsin 2A=3a,ABC的面积为S,且4S=3(a2+b2-c2),这三个条件中任意选择一个,填入下面的问题中,并求解.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,函数f(x)=23sin xcos x+2cos2x(0)的最小正周期为,c为f(x)在0,2上的最大值,且,求a-b的取值范围.解题心得对于在三角形中求解有关三角
13、函数的图像和性质的题目,时刻不要忘记对角的范围的限制,特别是求三角函数值的范围或最值时,先要把自变量的取值范围求出来,再利用三角函数的单调性确定函数值的范围.对点训练3(2020山东烟台模拟,17)已知函数f(x)=1-23sin xcos x-2cos2x+m在R上的最大值为3.(1)求m的值及函数f(x)的单调递增区间;(2)若在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且f(A)=0,求bc的取值范围.考点三角变换与解三角形的综合【例4】(2020天津,16)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=22,b=5,c=13.(1)求角C的大小;(2)求sin
14、A的值;(3)求sin2A+4的值.解题心得在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可直接将等式两边的边化为角;也能利用余弦定理的变形如cosA=b2+c2-a22bc将角化为边.在三角形中利用三角变换求三角式的值时,要注意角的范围的限制.还有隐含条件:A+B+C=,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.对点训练4(2020全国1,文18)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150.(1)若a=3c,b=27,求ABC的面积;(2)若sin A+3sin C=22,求C.考点三角函数、三角变换与解三角形的综合【例5】(2020全国2,理17)ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.(1)求A;(2)若BC=3,求ABC周长的最大值.解题心得关于三角函数、三角变换与解三角形的综合题的解题思路,一般是由正弦定理、余弦定理求出某个量作为下面问题的已知量,然后利用三角变换,将所求的量化为f(x)=Asin(x+)或f(x)=Acos(x+)的形式,最终求出结果.对点训练5(2020浙江,18)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2bsin A-3a=0.(1)求角B的大小;(2)求cos A+cos B+cos C的取值范围.
