1、72任意角的三角函数72.1三角函数的定义课程目标 1.理解并掌握任意角三角函数的定义2理解三角函数是以实数为自变量的函数3通过任意角三角函数的定义，认识到锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深对特殊与一般关系的理解填一填1任意角的三角函数以角的顶点O为坐标原点，以角的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy(如图所示)，并且使xOy90.在角终边上任取一点P(x，y)，则OP的长度记为r.(1)称为角的正弦，记作sin，即sin，定义域为|R；(2)称为角的余弦，记作cos，即cos，定义域为|R；(3)称为角的正切，记作tan，即tan，定义域为.这三个对应法则都是以为自变量
2、的函数，分别叫做角的正弦函数、余弦函数和正切函数2三角函数在各个象限的符号答一答1如何理解三角函数的定义？提示：(1)各三角函数都是以实数为自变量，以比值为函数值的函数，其关系如图所示这样，三角函数就像前面研究的其他基本初等函数一样，都是以实数为自变量的函数了(2)设角是一个任意大小的角，在角的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离|OP|r，则sin，cos，tan.，这三个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关，而只与角的大小有关，这是因为：如图OQQ1OPP1，.2一个角的正弦、余弦、正切在各个象限的符号如何？提示：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的从原点到
3、角的终边上任意一点的距离r总是正值根据三角函数定义知：正弦值符号取决于纵坐标y的符号，余弦值的符号取决于横坐标x的符号，正切值则是x、y同号为正，异号为负三角函数值在各象限的符号判别记忆规律如下：一全正、二正弦、三正切、四余弦(“一全正”是指角的终边在第一象限时，各种三角函数值的符号全为正号；“二正弦”是指第二象限仅正弦为正；“三正切”是指第三象限仅正切为正；“四余弦”是指第四象限仅余弦为正)类型一 求三角函数值命题视角1：利用定义求三角函数值例1如图，AOP，点Q与点P关于y轴对称，P，Q都为角的终边与单位圆的交点，求：(1)点P的坐标；(2)AOQ的正弦函数值、余弦函数值解(1)设点P的坐
4、标为(x，y)，则xcosAOPcos，ysinAOPsin.故点P的坐标为.(2)点P与点Q关于y轴对称，点Q的坐标为.根据正弦函数、余弦函数的定义可知sinAOQ，cosAOQ.利用定义求的三角函数值，其关键是求出角的终边与单位圆的交点P的坐标(u，v)，由三角函数的定义得sinv，cosu.变式训练1在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角，的终边分别与单位圆交于点和，那么sincos(B)A BC D解析：sincos，故选B命题视角2：取点求三角函数值例2已知终边上一点P(x,3)(x0)，且cosx，求sin.解由题意知r|OP|，由三角函数定义得cos.又cosx，
5、x.x0，x1.当x1时，P(1,3)，此时sin.当x1时，P(1,3)，此时sin.综上所述，sin.在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin，cos.变式训练2已知角的终边在直线y3x上，求10sin的值解：由题意知，cos0.设角的终边上任意一点为P(k，3k)(k0)，则xk，y3k，r|k|.(1)当k0时，rk，是第四象限角，sin，10sin103330.(2)当k0；对于，因2，则是第三象限角，所以tan0，sin0，故tansin0；对于，因4弧度的角在第三象
6、限，则sin40，故0；对于，因10.综上，为负数答案B对于较“大”的角先利用终边相同的角转化为较“小”的角即0，2)内的角，再根据角所在的象限与三角函数值的符号进行判断.变式训练3判断下列各式的符号：(1)是第四象限角，sintan；(2)sin3cos4tan.解：(1)是第四象限角，sin0，tan0.(2)3，40，cos40，sin3cos4tan0.类型三 由三角函数值的符号确定角的范围例4已知：cos0，tan0.(1)求角的集合；(2)求角的终边所在的象限；(3)试判断sin，cos，tan的符号分析根据cos0，tan0.借助三角函数的符号的判断原则不难解得解(1)cos0，
7、角的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上tan0，角的终边可能位于第二或第四象限角的终边只能位于第二象限故角的集合为.(2)2k2k(kZ)，kk(kZ)当k2n(nZ)时，2n2n(nZ)，是第一象限角；当k2n1(nZ)时，2n0，cos0，tan0；当是第三象限角时，sin0，cos0.设单位圆与角的终边交于点P(x，y)，则由三角函数定义知cos0，tan0，x0，点P在第二象限，即角为第二象限角，从而为第一或第三象限角.再由符号法则可知(3)中各值的符号.变式训练4若sin20，且cos0，所以2k22k，kZ，所以kk，kZ.当k2m，mZ时，有2m2m，mZ；当k2m1，mZ时，有2m2m，mZ.故为第一或第三象限角由cos0，cosx0，tanx0，原式3；当x是第二象限角时，sinx0，cosx0，tanx0，原式1；当x是第三象限角时，sinx0，cosx0，原式1；当x是第四象限角时，sinx0，tanx0，cos0，原式112.
