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[原创]2012届舜耕中学高三数学(理科)一轮复习资料 第九编解析几何§9.5曲线与方程(教案).doc

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1、高三数学(理)一轮复习 教案 第九编 解析几何 总第47期9.5 曲线与方程基础自测1.已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上,那么下列说法错误的是 (只填序号).曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0凡坐标不适合F(x,y)=0的点都不在C上不在C上的点的坐标有些适合F(x,y)=0,有些不适合F(x,y)=0不在C上的点的坐标必不适合F(x,y)=0答案 2.到两定点A(0,0),B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是 .答案 线段AB3.动点P到两坐标轴的距离之和等于2,则点P的轨迹所围成的图形面积是 .答案 84.(2008北京理)若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,

2、0)的距离小1,则点P的轨迹为 (写出曲线形状即可).答案 抛物线5.已知直线l的方程是f(x,y)=0,点M(x0,y0)不在l上,则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的曲线与l的位置关系是 .答案 平行例题精讲 例1 如图所示,过点P(2,4)作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A,l2交y轴于B,求线段AB中点M的轨迹方程.解 设点M的坐标为(x,y),M是线段AB的中点,A点的坐标为(2x,0),B点的坐标为(0,2y).=(2x-2,-4),=(-2,2y-4).由已知=0,-2(2x-2)-4(2y-4)=0,即x+2y-5=0.线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5

3、=0.例2、在ABC中,A为动点,B、C为定点,B(-,0),C(,0)且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是 .答案 -=1(y0)的右支例3 如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足APB=90,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解 设AB的中点为R,坐标为(x1,y1),Q点坐标为(x,y),则在RtABP中,|AR|=|PR|,又因为R是弦AB的中点,依垂径定理有RtOAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x+y).又|AR|=|PR|=,所以有(x1-4)2+y=36-(x+y).即x+y-4x1-10=0

4、.因为R为PQ的中点,所以x1=,y1=.代入方程x+y-4x1-10=0,得-4-10=0.整理得x2+y2=56.这就是Q点的轨迹方程.巩固练习 1.已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|+=0,求动点P(x,y)的轨迹方程.解 由题意:=(4,0),=(x+2,y),=(x-2,y),|+=0,+(x-2)4+y0=0,两边平方,化简得y2=-8x.2.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.解 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,根据两圆外切的充要条件

5、,得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表明动点M到两定点C2,C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大,到C1的距离小),这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为(x,y),其轨迹方程为x2-=1 (x-1).3.设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且=2,当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.解 设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),由=2得(x-x0,y)=2(-x0,y0),即.,=(x0,

6、-y0), =(1,-y0),(x0,-y0)(1,-y0)=0,x0+y=0.-x+ =0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是 .答案 y2=8x2.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 .答案 4 3.长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动,=2,则点C的轨迹是 (写出形状即可).答案 椭圆4.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,

7、3),若点C满足= +(O为原点),其中,R,且+=1,则点C的轨迹是 (写出形状即可).答案 直线5.F1、F2是椭圆的两个焦点,M是椭圆上任一点,从任一焦点向F1MF2顶点M的外角平分线引垂线,垂足为P,则P点的轨迹为 (写出形状即可).答案 圆6.一圆形纸片的圆心为O,点Q是圆内异于O的一个定点,点A是圆周上一动点,把纸片折叠使点A与点Q重合,然后抹平纸片,折痕CD与OA交于点P,当点A运动时,点P的轨迹为 (写出形状即可).答案 椭圆7.已知ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为 .答案 (x-10)2+y2=36(y0) 8.平面上

8、有三点A(-2,y),B(0,),C(x,y),若,则动点C的轨迹方程为 .答案 y2=8x二、解答题9.如图所示,已知点C的坐标是(2,2),过点C的直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点,求点M的轨迹方程.解 方法一 (参数法):设M的坐标为(x,y).若直线CA与x轴垂直,则可得到M的坐标为(1,1).若直线CA不与x轴垂直,设直线CA的斜率为k,则直线CB的斜率为-,故直线CA方程为:y=k(x-2)+2,令y=0得x=2-,则A点坐标为(2-,0).CB的方程为:y=-(x-2)+2,令x=0,得y=2+,则B点坐标为(0,2+

9、),由中点坐标公式得M点的坐标为 消去参数k得到x+y-2=0 (x1),点M(1,1)在直线x+y-2=0上,综上所述,所求轨迹方程为x+y-2=0.方法二 (直接法)设M(x,y),依题意A点坐标为(2x,0),B点坐标为(0,2y).|MA|=|MC|,=,化简得x+y-2=0.方法三 (定义法)依题意|MA|=|MC|=|MO|,即:|MC|=|MO|,所以动点M是线段OC的中垂线,故由点斜式方程得到:x+y-2=0.10.如图所示,线段AB与CD互相垂直平分于点O,|AB|=2a(a0),|CD|=2b (b0),动点P满足|PA|PB|=|PC|PD|.求动点P的轨迹方程.解 以O

10、为坐标原点,直线AB、CD分别为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0),C(0,-b),D(0,b),设P(x,y),由题意知|PA|PB|=|PC|PD|,=,化简得x2-y2=.故动点P的轨迹方程为x2-y2=.11.已知两条直线l1:2x-3y+2=0和l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交,且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24,求圆心的轨迹方程.解 设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,点M到直线l1,l2的距离分别为d1和d2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得,即消去r得动点M满足的几何关系为=25,即.化简得(x+1)2-

11、y2=65.此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程.12.已知椭圆上任意一点P,由P向x轴作垂线段PQ,垂足为Q,点M在线段PQ上,且=2,点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若过定点F(0,2)的直线l交曲线E于不同的两点G,H(点G在点F,H之间),且满足=2,求直线l的方程.解 (1)设M(x,y),P(x0,y0),=2,,将其代入椭圆方程得得曲线E的方程为:. (2)设G(x1,y1)、H(x2,y2),=2,x2=2x1. 依题意,当直线l斜率不存在时,G(0,1),H(0,-1),不满足=2.故设直线l:y=kx+2,代入曲线E的方程并整理得(1+2k2)x2+8kx+6=0,x1+x2=-,x1x2= 联立解得k=,所以直线l的方程为:y=x+2.

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