1、高三数学（理）一轮复习 教案 第九编 解析几何 总第47期9.5 曲线与方程基础自测1.已知坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上，那么下列说法错误的是 （只填序号）.曲线C上的点的坐标都适合方程F（x，y）=0凡坐标不适合F（x，y）=0的点都不在C上不在C上的点的坐标有些适合F（x，y）=0，有些不适合F（x，y）=0不在C上的点的坐标必不适合F（x，y）=0答案 2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是 .答案 线段AB3.动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是 .答案 84.（2008北京理）若点P到直线x=-1的距离比它到点（2，
2、0）的距离小1，则点P的轨迹为 (写出曲线形状即可).答案 抛物线5.已知直线l的方程是f（x，y）=0，点M（x0，y0）不在l上，则方程f（x，y）-f（x0，y0）=0表示的曲线与l的位置关系是 .答案 平行例题精讲 例1 如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.解 设点M的坐标为（x,y）,M是线段AB的中点，A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）.=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.由已知=0，-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5
3、=0.例2、在ABC中，A为动点，B、C为定点，B（-,0），C（，0）且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是 .答案 -=1（y0)的右支例3 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解 设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y），则在RtABP中，|AR|=|PR|，又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有RtOAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（x+y）.又|AR|=|PR|=，所以有（x1-4）2+y=36-（x+y）.即x+y-4x1-10=0
4、.因为R为PQ的中点，所以x1=，y1=.代入方程x+y-4x1-10=0，得-4-10=0.整理得x2+y2=56.这就是Q点的轨迹方程.巩固练习 1.已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足|+=0，求动点P（x，y）的轨迹方程.解 由题意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x-2,y）,|+=0，+（x-2）4+y0=0，两边平方，化简得y2=-8x.2.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件
5、，得|MC1|-|AC1|=|MA|， |MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x2-=1 (x-1).3.设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且=2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.解 设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），即.,=(x0,
6、-y0), =(1,-y0),(x0,-y0)（1，-y0）=0,x0+y=0.-x+ =0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P（2，4），则该抛物线的方程是 .答案 y2=8x2.已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 .答案 4 3.长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，=2，则点C的轨迹是 （写出形状即可）.答案 椭圆4.平面直角坐标系中，已知两点A（3，1），B（-1，
7、3），若点C满足= +（O为原点），其中，R，且+=1，则点C的轨迹是 （写出形状即可）.答案 直线5.F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从任一焦点向F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为 （写出形状即可）.答案 圆6.一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为 （写出形状即可）.答案 椭圆7.已知ABC的顶点B（0，0），C（5，0），AB边上的中线长|CD|=3，则顶点A的轨迹方程为 .答案 (x-10)2+y2=36(y0) 8.平面上
8、有三点A（-2，y），B（0，），C（x，y），若，则动点C的轨迹方程为 .答案 y2=8x二、解答题9.如图所示，已知点C的坐标是（2，2），过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.解 方法一 （参数法）：设M的坐标为（x,y）.若直线CA与x轴垂直，则可得到M的坐标为（1，1）.若直线CA不与x轴垂直，设直线CA的斜率为k，则直线CB的斜率为-，故直线CA方程为：y=k(x-2)+2,令y=0得x=2-,则A点坐标为(2-,0).CB的方程为：y=-(x-2)+2,令x=0,得y=2+，则B点坐标为（0,2+
9、），由中点坐标公式得M点的坐标为 消去参数k得到x+y-2=0 (x1),点M（1，1）在直线x+y-2=0上，综上所述，所求轨迹方程为x+y-2=0.方法二 （直接法）设M（x，y），依题意A点坐标为（2x,0）,B点坐标为（0，2y）.|MA|=|MC|，=,化简得x+y-2=0.方法三 （定义法）依题意|MA|=|MC|=|MO|,即:|MC|=|MO|,所以动点M是线段OC的中垂线，故由点斜式方程得到：x+y-2=0.10.如图所示，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|=2a（a0）,|CD|=2b (b0)，动点P满足|PA|PB|=|PC|PD|.求动点P的轨迹方程.解 以O
10、为坐标原点，直线AB、CD分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（-a，0），B（a，0），C（0，-b），D（0，b）,设P（x，y），由题意知|PA|PB|=|PC|PD|，=,化简得x2-y2=.故动点P的轨迹方程为x2-y2=.11.已知两条直线l1:2x-3y+2=0和l2:3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都动）与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24,求圆心的轨迹方程.解 设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,点M到直线l1,l2的距离分别为d1和d2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得，即消去r得动点M满足的几何关系为=25,即.化简得（x+1）2-
11、y2=65.此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程.12.已知椭圆上任意一点P，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且=2，点M的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G，H（点G在点F，H之间），且满足=2，求直线l的方程.解 （1）设M（x,y）,P(x0,y0),=2，,将其代入椭圆方程得得曲线E的方程为：. (2)设G（x1，y1）、H（x2，y2），=2，x2=2x1. 依题意，当直线l斜率不存在时，G（0，1），H（0，-1），不满足=2.故设直线l:y=kx+2,代入曲线E的方程并整理得（1+2k2）x2+8kx+6=0,x1+x2=-,x1x2= 联立解得k=,所以直线l的方程为：y=x+2.