1、8.6空间直线、平面的垂直86.1直线与直线垂直目标 理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角重点 异面直线的定义及两异面直线所成的角；直线与直线垂直的证明难点 求两异面直线所成的角 要点整合夯基础 知识点异面直线所成的角填一填答一答1在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？提示：根据等角定理可知，异面直线a与b所成角的大小与点O的位置无关但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BAE25，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为65.提示：B1C1BC，异面直线AE与B1C
2、1所成的角是AEB902565. 典例讲练破题型 类型一异面直线所成的角例1如图，P是平面ABC外一点，PA4，BC2，D、E分别为PC和AB的中点，且DE3.求异面直线PA和BC所成角的大小分析(1)PA、BC移至同一个三角形中(2)找出PA和BC所成的角解如图，取AC中点F，连接DF、EF，在PAC中，D是PC中点，F是AC中点，DFPA，同理可得EFBC，DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)在DEF中，DE3，又DFPA2，EFBC，DE2DF2EF2.DFE90，即异面直线PA与BC所成的角为90.(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.
3、,可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的取值范围为090. 变式训练1如图，在正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角(2)FO与BD所成的角解：(1)如图，因为CGBF，所以EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在BEF中，EBF45，所以BE与CG所成的角为45.(2)如图，连接FH，因为HDEA，EAFB，所以HDFB，又HDFB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HFBD，所以HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角连接HA，AF，易得FHHAAF，所以AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以HFO30，即F
4、O与BD所成的角为30.类型二线线垂直的证明与应用例2直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，ABC120，AB2，BCCC11.证明：AB1MN. 分析先找到异面直线AB1与MN所成角，再利用勾股定理进行证明证明由题得MNB1C， 所以AB1C就是异面直线AB1与MN所成角或补角由题得AC，AB1，B1C，因为()2()2()2，AB1C，所以AB1MN.证明空间中的异面直线的垂直问题，往往先作出异面直线所成的角，再利用勾股定理进行证明.变式训练2如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且ABBC2，ABC120 ，若异面直线A1B
5、和AD1相互垂直，试求AA1的长解：连接CD1，AC，如图由题意得四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D1BC，A1D1BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BCD1，AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角异面直线A1B和AD1相互垂直，AD1C90.四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，且侧面都是矩形，ACD1是等腰直角三角形，AD1AC.底面四边形ABCD是菱形且ABBC2，ABC120，AC2sin6026，AD1AC3，AA1. 课堂达标练经典 1经过空间一点P作与直线a成60角的直线，这样的直线有(D)A0条 B1条C有限条 D无数条解析：这些直线可以是以P为顶点
6、，以过点P且平行于a的直线为轴的圆锥的母线所在的直线，共有无数条直线2如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为(B)A0 B90C60 D45解析：如图所示，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNECMFB，连接CD，CDBN，CDAM，AMBN，在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90.3如图，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF，则异面直线AD、BC所成角的大小是60.解析：设G为AC的中点，如图，连接EG，FG，因为E、F分别是AB、CD中点，EGBC，EGBC1，FGAD，FGAD1，所以EGF为异面直线AD、BC所成
7、的角(或其补角)，EF，三角形EGF中，cosEGF，EGF120，即异面直线AD、BC所成的角为60.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，六个面内与BD成60角的对角线共有8条解析：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，六个面内与BD成60角的对角线共有AB1，BA1，DC1，CD1，AD1，DA1，BC1，CB1共8条5.如图所示，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别是AB，CD的中点若EF，求AD，BC所成的角解：如图，取BD的中点H，连接EH，FH，因为E是AB的中点，且AD2，所以EHAD，EH1.同理FHBC，FH1，所以EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角，又因为EF，所以EH2FH2EF2，所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，所以EHF90，即AD，BC所成的角是90.本课须掌握的问题在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角为，且090，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小
