1、55三角恒等变换55.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一课时两角差的余弦公式内容标准学科素养1.了解单位圆上两点间的距离公式推导两角差的余弦公式的过程，体会单位圆上点的坐标的表示方法直观想象逻辑推理、数学运算2灵活运用两角差的余弦公式进行求值.授课提示：对应学生用书第103页教材提炼知识点两角差的余弦公式如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点P1、A1、P.P1、A1、P点的坐标如何表示？与有什么关系？ 知识梳理(1)P1(cos_，sin_)、A1(cos_，sin_)、P(cos()，sin()(2)由APA1P1
2、得对于任意角，有cos()cos_cos_sin_sin_.自主检测1cos 45cos 15sin 45sin 15等于()A.B.C.D.解析：原式cos(4515)cos 30.答案：B2cos 75cos 15sin 75sin 195的值为()A B. C2 D1答案：B3cos 15_.答案：4cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)_.答案：授课提示：对应学生用书第103页探究一正用公式求三角函数值例1教材P216例2拓展探究(1)求cos 75的值解析cos 75cos(12045)cos 120cos 45sin 120sin 45.(2)已知，且sin ，c
3、os()，求cos 的值解析因为，所以0，由cos()，得sin()，又sin ，所以cos ，所以cos cos()cos()cos sin()sin .(3)已知，sin()，sin，求cos的值解析因为，sin()，sin，所以cos()，cos，coscoscos()cossin()sin.两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解(2)已知某一个角的三角函数值，求另一个角的余弦值时，要找到这两个角之间的联系，通过构造两角差的余弦的形式，利用公式进行计算(3)由于和、差角与单角是相对的，因此做题过程中要根据需要灵活地进行拆角或拼角的变换探
4、究二逆用公式求值例2求下列各式的值：(1)cos 40cos 70cos 20cos 50；(2)cos 63sin 57sin 117sin 33；(3)cos(20)cos(40)sin(20)sin(40)；(4)cos 105sin 105.解析(1)原式cos 40cos 70sin 70sin 40cos(7040)cos 30.(2)原式cos 63cos 33sin 63sin 33cos(6333)cos 30.(3)cos(20)cos(40)sin(20)sin(40)cos(20)(40)cos(60).(4)cos 105sin 105cos 60cos 105sin
5、 60sin 105cos(60105)cos(45).逆用cos()的公式，首先要符合“cos cos sin sin ”的形式，若不符合，要根据诱导公式变形含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解(1)cos 263cos 203sin 83sin 23的值为()AB.C. D(2)sincos的值为()A. B1C. D.解析：(1)cos 263cos(18083)cos 83，cos 203cos(18023)cos 23，原式cos 83cos 23sin 83sin 23cos(8323)cos 60.(2)原式222cos2cos2.答案：(
6、1)B(2)C探究三利用两角差的余弦公式求角例3已知cos ，cos()，且0，求的值解析由cos ，0，得sin .由0，得0.又cos()，sin() .由()，得cos cos()cos cos()sin sin().0，.求解给值求角的三个步骤(1)求所求角的某一种三角函数值(2)确定所求角的范围(3)在所求角的范围内，根据三角函数值确定角已知，为锐角，cos ，sin()，则_.解析：因为为锐角，且cos ，所以sin ，又，为锐角，sin()sin ，所以，所以cos() ，所以cos cos()cos()cos sin()sin ，又为锐角，故.答案：授课提示：对应学生用书第10
7、4页一、“角变”灵活运用公式C()的关键公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式公式的适用条件公式中的，不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的，“”相当于公式中的.公式的灵活应用公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形应用，还要创造条件应用公式，如构造角：()，等典例(1)已知cos，0，则cos 等于()A.B.C. D.(2)化简_.解析(1)，sin.cos cos.(2).答案(1)A(2)二、求三角函数时注意角的取值范围典例已知、均为锐角，且cos ，cos ，求的值解析因为，均为锐角，所以sin ，sin ，所以cos()cos cos sin sin .又sin sin .所以0，所以0.故.纠错心得(1)在两角差的余弦公式cos()cos cos sin sin 中，要注意它的结构特点，等式右边是余弦之积与正弦之积的和，应用时应特别注意(2)对于给值求角问题，由已知条件确定出所求角的范围，是解决此类问题的关键
