1、第40练矩阵与变换题型分析高考展望本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等，一般以基础题目为主，难度不大又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力体验高考1(2015江苏)已知x，yR，向量是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值解由已知，得A2，即，则即所以矩阵A.从而矩阵A的特征多项式f()(2)(1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.2(2016江苏)已知矩阵A，矩阵B的逆矩阵B1，求矩阵AB.解B(B1)1.AB.高考必会题型题型一常见矩阵变换
2、的应用例1已知曲线C：xy1.(1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45后，求得到的曲线C的方程；(2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程解(1)设P(x0，y0)是曲线C：xy1上的任一点，点P(x0，y0)在旋转变换后对应的点为P(x0，y0)，则.又x0y01，(y0x0)(y0x0)1.y x 2，即曲线C：xy1旋转后所得到的曲线C的方程为y2x22.(2)曲线C的焦点坐标为F1(0，2)，F2(0,2)，渐近线方程为yx.再顺时针旋转45后，即可得到曲线C的焦点坐标为(，)和(，)，渐近线方程为x0，y0.点评把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上
3、，可以加深对曲线性质的理解变式训练1已知直线l：axy1在矩阵A对应的变换作用下变为直线l：xby1.(1)求实数a，b的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A，求点P的坐标解(1)设直线l：axy1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M(x，y)由，得又点M(x，y)在直线l：xby1上，所以xby1，即x(b2)y1，依题意得解得(2)由A，得解得y00.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x01.故点P的坐标为(1,0)题型二二阶矩阵的逆矩阵例2设矩阵M(其中a0，b0)(1)若a2，b3，求矩阵M的逆矩阵M1；(2)若曲线C：x2y21在矩阵M所对应的线性变换作用
4、下得到曲线C：y21，求a，b的值解(1)设矩阵M的逆矩阵M1，则MM1.又M，所以 .所以2x11,2y10,3x20,3y21，即x1，y10，x20，y2，故所求的逆矩阵M1.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P(x，y)，则 ，即又点P(x，y)在曲线C上，所以y21.则b2y21为曲线C的方程又已知曲线C的方程为x2y21，故又a0，b0，所以点评对于二阶矩阵，若有ABBAE，则称B为A的逆矩阵因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解变式训练2(2015福建)已知矩阵A，B.(1)求A的逆矩阵A1；(2)求矩阵C，使得ACB.解(1)因
5、为|A|23142，所以A1.(2)由ACB得(A1A)CA1B，故CA1B .题型三求矩阵的特征值与特征向量例3已知矩阵A，其中aR，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P(0，3)(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量解(1)由题意得 ，所以a13，所以a4.(2)由(1)知A，令f()(1)240.解得A的特征值为1或3.当1时，由得矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为；当3时，由得矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.点评(1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(
6、0)，或者方向相反(0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵解(1)设曲线2x22xyy21上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P(x，y)由 ，得又点P(x，y)在x2y21上，所以x2y21，即a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21.依题意得解得或因为a0，所以(2)由(1)知，A，A2 .所以|A2|1，(A2)1.5在直角坐标系中，已知ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积，其中M，N.解由在矩阵线性变换下的几何意义可知，在矩阵N作用下
7、，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90得到的图形；在矩阵M作用下，一个图形变换为与之关于直线yx对称的图形，因此，ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与ABC全等，从而其面积等于ABC的面积，即为1.6已知曲线C：y22x，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程解设ANM，则A ，设P(x，y)是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C2上的对应的点为P(x，y)，则 ，即又点P(x，y)在曲线C：y22x上，(x)22y，即yx2.7在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)设k为非零实数，矩阵M，N，点
8、A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1，A1B1C1的面积是ABC的面积的2倍，求k的值解由题设得MN .由 ， ， ，可知A1(0,0)，B1(0，2)，C1(k，2)计算得ABC的面积是1，A1B1C1的面积是|k|，由题设知|k|212，所以k的值为2或2.8已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：xy10在矩阵M的作用下的直线l的方程解(1)设M，则 8，故 ，故联立以上两方程组解得a6，b2，c4，d4，故M.(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f()(6)(4)821016，故其另一个特征值为2.设矩阵M的另一个特征向量是e2，则Me22，解得2xy0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x，y)，则 ，即xxy，yxy，代入直线l的方程后并化简得xy20，即xy20.
