1、上海市徐汇区位育中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题(含解析)一、填空题(共12小题).1直线(t为参数)的斜率为 2已知直线l的一个方向向量为(1,2,0),平面的一个法向量为(m,3,6),且l,则m 3在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设,用、作为基底向量表示 4已知抛物线y22px过点A(2,2),则点A到准线的距离为 5水平放置的边长为1的正三角形经过斜二测画法得到的直观图面积为 6若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形,则它的表面积是 7地球(地球半径为R)表面上从A地(北纬45,东经120)到B地(北纬45,东经30)的球面距离为 8已知三个球的半径R1,R2,R
2、3满足R1+2R23R3,则它们的体积V1,V2,V3满足的等量关系是 9如图,在空间直角坐标系Oxyz中,四面体COAB的主视图AOC是面积为4的直角三角形,且CO2,OAB是正三角形,且点B在平面xOy上,则此四面体的左视图的面积等于 10若三个平面、两两垂直,直线l与平面、所成的角都等于,cos 11如图是一座山的示意图,山呈圆锥形,圆锥的底面半径为10公里,母线长为40公里,B是母线SA上一点,且AB10公里为了发展旅游业,要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路这条铁路从A出发后首先上坡,随后下坡,则下坡段铁路的长度为 公里12在平面xOy上,将曲线x2+1(x0)与y轴围成的封闭
3、图形记为D,记D绕y轴旋转一周而成的几何体为,试构造圆柱与倒立的圆锥,利用祖暅原理得出的体积值为 二、选择题(共4小题).13空间内不同的四个点,“无任何三点共线”是“四点不共面”的()A充要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件14设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确命题的个数是()(1)若m,n,则mn;(2)若,m,则m;(3)若m,n,则mn;(4)若,则A1B2C3D415在棱长为10的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为左侧面ADD1A1上一点,已知点P到A1D1的距离为3,P到AA1的距离为2,则过点P平行于A1C的直线与正
4、方体表面()相交AABCDBBB1C1CCCC1D1DDAA1B1B16对于直角坐标平面内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“新距离”:|AB|x2x1|+|y2y1|给出下列三个命题:若点C在线段AB上则AC+BCAB;在ABC中,若C90,则AC2+BC2AB2;在ABC中,AC+BCAB其中的真命题为()ABCD三、解答题17如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,AA13(1)求四棱锥A1ABCD的体积;(2)求异面直线A1C与DD1所成角的大小18点A、B分别是椭圆+1长轴的左、右顶点,点F是椭圆的右焦点点P在椭圆上,且位于x轴上方,PAPF(
5、1)求P点的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值19某种“笼具”由内,外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为24cm,高为30cm,圆锥的母线长为20cm(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1cm3);(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元?20已知点F1、F2为双曲线的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴的上方交双曲线C于点M,且MF
6、1F230(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l过点(0,1)且与双曲线C交于A、B两点,若A、B中点的横坐标为1,求直线l的方程;(3)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求证:为定值21如图,ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱,O1为A1C1与B1D1的交点(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为,异面直线AD1与A1C1所成角的大小为,求证:tan22tan2+1;(2)若点C到平面AB1D1的距离为,求二面角AB1D1A1;(3)在(2)的条件下,若平面BB1C1B内存在点P满足P到直线BC的距离与到直线C1D1的距离相等,求
7、的最小值参考答案一、填空题(共12小题).1直线(t为参数)的斜率为解:直线,所以直线的普通方程为:(y4)(x3),yx+;所以直线的斜率为:;故答案为:2已知直线l的一个方向向量为(1,2,0),平面的一个法向量为(m,3,6),且l,则m6解:直线l的一个方向向量为(1,2,0),平面的一个法向量为(m,3,6),且l,m60,解得m6故答案为:63在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设,用、作为基底向量表示解:平行六面体ABCDA1B1C1D1中,如图所示:则+故答案为:4已知抛物线y22px过点A(2,2),则点A到准线的距离为解:抛物线y22px过点A(2,2),可得p1,所以
8、抛物线的准线方程为x,所以点A到准线的距离为:2+故答案为:5水平放置的边长为1的正三角形经过斜二测画法得到的直观图面积为解:边长为1的正三角形的面积为S12sin60,经过斜二测画法得到的直观图面积为SS故答案为:6若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形,则它的表面积是6解:圆柱的轴截面是面积为4的正方形,所以圆柱的母线长为2,底面圆的半径为1,所以圆柱的表面积是S表212+2126故答案为:67地球(地球半径为R)表面上从A地(北纬45,东经120)到B地(北纬45,东经30)的球面距离为解:地球表面上从A地(北纬45,东经120)到B地(北纬45,东经30),B的纬圆半径是,经度差是90,
9、所以ABR,球心角是,则A、B两地的球面距离是故答案为:8已知三个球的半径R1,R2,R3满足R1+2R23R3,则它们的体积V1,V2,V3满足的等量关系是解:因为V1R13,所以,R1同理R2,R3由R1+2R23R3,得它们的体积V1,V2,V3满足的等量关系是:故答案为:9如图,在空间直角坐标系Oxyz中,四面体COAB的主视图AOC是面积为4的直角三角形,且CO2,OAB是正三角形,且点B在平面xOy上,则此四面体的左视图的面积等于6解:四面体COAB的主视图AOC是面积为4的直角三角形,且CO2,OAB是正三角形,所以,则:AO4,由于OAB为等边三角形,所以BO4,所以BO在平面
10、yoz上的射影长,则四面体的左视图的面积S故答案为:610若三个平面、两两垂直,直线l与平面、所成的角都等于,cos解:由题意可建立如图所示的空间直角坐标系,其中ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体,直线l为B1D,平面、分别在正方体的三个面上,满足两两垂直,BD,B1D,此时直线l与三个平面、所成角都相等,等于,于是直线l与平面成角为B1DB,COS,故答案为:11如图是一座山的示意图,山呈圆锥形,圆锥的底面半径为10公里,母线长为40公里,B是母线SA上一点,且AB10公里为了发展旅游业,要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路这条铁路从A出发后首先上坡,随后下坡,则下坡段铁路的长
11、度为18公里解:如图,展开圆锥的侧面,过点S作AB的垂线,垂足为H,记点P为AB上任意一点,联结PS,由两点之间线段最短,知观光铁路为图中的AB,上坡即P到山顶S的距离PS越来越小,下坡即P到山顶S的距离PS越来越大,下坡段的铁路,即图中的HB,由RtSABRtHSB,可得:,可求出HB18即下坡段铁路的长度为 18公里故答案为:1812在平面xOy上,将曲线x2+1(x0)与y轴围成的封闭图形记为D,记D绕y轴旋转一周而成的几何体为,试构造圆柱与倒立的圆锥,利用祖暅原理得出的体积值为解:根据题意知,曲线x2+1(x0)与y轴围成的封闭图形为半椭圆,如图所示:该平面图形绕y轴旋转一周而成的几何
12、体为,构造圆柱与倒立的圆锥,利用祖暅原理,可知的体积V2(122122)故答案为:二、选择题13空间内不同的四个点,“无任何三点共线”是“四点不共面”的()A充要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件解:在空间四点中,当四点不共面时,其中任意三点必不共线,必要性成立,当任意三点不共线时,不能得出四点不共面,如平行四边形的四个顶点,充分性不成立,无任何三点共线是四点不共面的必要不充分条件故选:C14设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确命题的个数是()(1)若m,n,则mn;(2)若,m,则m;(3)若m,n,则mn;(4)若,则A1B2C3D
13、4解:m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,对于(1),若m,n,则mn,故(1)正确;对于(2),若,所以,由于m,则m,故(2)正确;对于(3),若m,n,则mn或m和n异面或m和n相交,故(3)错误;(4)若,则或和相交,故(4)错误故选:B15在棱长为10的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为左侧面ADD1A1上一点,已知点P到A1D1的距离为3,P到AA1的距离为2,则过点P平行于A1C的直线与正方体表面()相交AABCDBBB1C1CCCC1D1DDAA1B1B解:过P作PNA1A于N,A1N3,PN2,连接A1P,延长A1P交AD于M,设AMx,即,于是x10,连接MC,过
14、P作PQA1C,交MC于Q,所以Q在平面ABCD内,故选:A16对于直角坐标平面内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“新距离”:|AB|x2x1|+|y2y1|给出下列三个命题:若点C在线段AB上则AC+BCAB;在ABC中,若C90,则AC2+BC2AB2;在ABC中,AC+BCAB其中的真命题为()ABCD解:若点C在线段AB上,设点C(x0,y0),那么x0在x1,x2之间y0在y1,y2之间,|AC|+|CB|x0x1|+|y0y1|+|x2x0|+|y2y0|x2x1|+|y2y1|AB|,故正确;平方后不能消除x0,y0,命题不成立,故不正确;在ABC中
15、,|AC|+|CB|x0x1|+|y0y1|+|x2x0|+|y2y0|x0x1+y0y1+x2x0+y2y0|x2x1|+|y2y1|AB|,故不正确故选:C三、解答题17如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,AA13(1)求四棱锥A1ABCD的体积;(2)求异面直线A1C与DD1所成角的大小解:(1)长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,AA13,四棱锥A1ABCD的体积:4(2)DD1CC1,A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角(或所成角的补角),tanA1CC1,A1CC1异面直线A1C与DD1所成角的大小为;18点A、B分别是椭圆+1长轴的左、右顶点,点F是
16、椭圆的右焦点点P在椭圆上,且位于x轴上方,PAPF(1)求P点的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解:(1)由已知可得点A(6,0),F(4,0),设点P(x,y),则(x+6,y),(x4,y)由已知可得,2x2+9x180,解得x,或x6由于y0,只能x,于是y点P的坐标是(,)(2)直线AP的方程是 ,即 xy+60设点M(m,0),则M到直线AP的距离是于是|6m|,又6m6,解得m2,故点M(2,0)设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,有 d2(x2)2+y2x24x+4+20x2(x)2+15,当x时,d取
17、得最小值19某种“笼具”由内,外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为24cm,高为30cm,圆锥的母线长为20cm(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1cm3);(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元?解:(1)设圆柱的底面半径为r,高为h,圆锥的母线长为l,高为h1,则2r24,解得r12cmh1cm笼具的体积Vr2h(1223012216)355211158.9cm3(2)圆柱的侧面积S12rh720cm2,
18、圆柱的底面积S2r2144cm2,圆锥的侧面积为S3rl240cm2故笼具的表面积SS1+S2+S31104cm2故制造50个这样的笼具总造价为:元答:这种笼具的体积约为11158.9cm3,生产50个笼具需要元20已知点F1、F2为双曲线的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴的上方交双曲线C于点M,且MF1F230(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l过点(0,1)且与双曲线C交于A、B两点,若A、B中点的横坐标为1,求直线l的方程;(3)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求证:为定值解:(1)由双曲线的方程可得a1,在直角三角形MF1F2中,M
19、F1F230,MF2F2F1,可得|MF1|2|MF2|,且|MF1|MF2|2a2,解得|MF2|2,又|MF2|b2,所以b22,则双曲线的方程为;(2)由题意可得直线l的斜率存在,设为k,直线l的方程为ykx+1,联立,可得(2k2)x22kx30,4k2+12(2k2)0,解得k设A,B的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2由A、B中点的横坐标为1,可得1,解得k1或2(舍去),所以直线l的方程为yx+1;(3)证明:设P(m,n),则2m2n22,由,解得P1(,),由,解得P2(,),所以(,)(,)+,即21如图,ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱,O1为A1C1与
20、B1D1的交点(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为,异面直线AD1与A1C1所成角的大小为,求证:tan22tan2+1;(2)若点C到平面AB1D1的距离为,求二面角AB1D1A1;(3)在(2)的条件下,若平面BB1C1B内存在点P满足P到直线BC的距离与到直线C1D1的距离相等,求的最小值【解答】(1)证明:设正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为h,因为AA1底面A1B1C1D1,所以AB1A1,于是tan,因为ACA1C1,如图所示,所以CAD1,由勾股定理可知,CA,CD1AD1,在等腰三角形CAD1中,底边CA上的高为,所以tan,则tan22h2+12tan2+1
21、;(2)解:因为O1为A1C1与B1D1的交点,三角形AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形,所以AO1B1D1,根据线面垂直的判定定理可知,B1D1平面ACC1A1,由面面垂直的判定定理可知,平面AB1D1平面ACC1A1,且平面AB1D1平面ACC1A1AO1,、则点C在平面AB1D1的射影H在AO1上,即CH,如图所示,在矩形ACC1A1中,AH,因为RtAA1ORtCHA,则,即,解得AA12,所以正棱柱ABCDA1B1C1D1的高2,因为,O为B1D1的中点,则AO1B1D1,又O1为正方形对角线A1C1与B1D1的交点,则A1O1B1D1,所以AO1A1为二面角的AB1D1A1平面角,则RtAO1A1中,故tanAO1A1,所以二面角AB1D1A1的大小为arctan;(3)解:以A1为空间直角坐标系的坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,设P(1,y,z)(0y1),因为C1D1平面BB1C1C,故C1D1PC1,由题意可知,即44z(y1)2(0z1),所以有,当y1时,y2有最大值1,此时z1,而(z2)2+1也达到最小值,所以有最大值,则有最小值,最小值为,故的最小值为