1、上海市徐汇区位育中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、填空题（共12小题）.1直线（t为参数）的斜率为 2已知直线l的一个方向向量为（1，2，0），平面的一个法向量为（m，3，6），且l，则m 3在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设，用、作为基底向量表示 4已知抛物线y22px过点A（2，2），则点A到准线的距离为 5水平放置的边长为1的正三角形经过斜二测画法得到的直观图面积为 6若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则它的表面积是 7地球（地球半径为R）表面上从A地（北纬45，东经120）到B地（北纬45，东经30）的球面距离为 8已知三个球的半径R1，R2，R
2、3满足R1+2R23R3，则它们的体积V1，V2，V3满足的等量关系是 9如图，在空间直角坐标系Oxyz中，四面体COAB的主视图AOC是面积为4的直角三角形，且CO2，OAB是正三角形，且点B在平面xOy上，则此四面体的左视图的面积等于 10若三个平面、两两垂直，直线l与平面、所成的角都等于，cos 11如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B是母线SA上一点，且AB10公里为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里12在平面xOy上，将曲线x2+1（x0）与y轴围成的封闭
3、图形记为D，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出的体积值为 二、选择题（共4小题）.13空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（）A充要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件14设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）（1）若m，n，则mn；（2）若，m，则m；（3）若m，n，则mn；（4）若，则A1B2C3D415在棱长为10的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P平行于A1C的直线与正
4、方体表面（）相交AABCDBBB1C1CCCC1D1DDAA1B1B16对于直角坐标平面内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”：|AB|x2x1|+|y2y1|给出下列三个命题：若点C在线段AB上则AC+BCAB；在ABC中，若C90，则AC2+BC2AB2；在ABC中，AC+BCAB其中的真命题为（）ABCD三、解答题17如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA13（1）求四棱锥A1ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小18点A、B分别是椭圆+1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF（
5、1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值19某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？20已知点F1、F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且MF
6、1F230（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l过点（0，1）且与双曲线C交于A、B两点，若A、B中点的横坐标为1，求直线l的方程；（3）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求证：为定值21如图，ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，异面直线AD1与A1C1所成角的大小为，求证：tan22tan2+1；（2）若点C到平面AB1D1的距离为，求二面角AB1D1A1；（3）在（2）的条件下，若平面BB1C1B内存在点P满足P到直线BC的距离与到直线C1D1的距离相等，求
7、的最小值参考答案一、填空题（共12小题）.1直线（t为参数）的斜率为解：直线，所以直线的普通方程为：（y4）（x3），yx+；所以直线的斜率为：；故答案为：2已知直线l的一个方向向量为（1，2，0），平面的一个法向量为（m，3，6），且l，则m6解：直线l的一个方向向量为（1，2，0），平面的一个法向量为（m，3，6），且l，m60，解得m6故答案为：63在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设，用、作为基底向量表示解：平行六面体ABCDA1B1C1D1中，如图所示：则+故答案为：4已知抛物线y22px过点A（2，2），则点A到准线的距离为解：抛物线y22px过点A（2，2），可得p1，所以
8、抛物线的准线方程为x，所以点A到准线的距离为：2+故答案为：5水平放置的边长为1的正三角形经过斜二测画法得到的直观图面积为解：边长为1的正三角形的面积为S12sin60，经过斜二测画法得到的直观图面积为SS故答案为：6若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则它的表面积是6解：圆柱的轴截面是面积为4的正方形，所以圆柱的母线长为2，底面圆的半径为1，所以圆柱的表面积是S表212+2126故答案为：67地球（地球半径为R）表面上从A地（北纬45，东经120）到B地（北纬45，东经30）的球面距离为解：地球表面上从A地（北纬45，东经120）到B地（北纬45，东经30），B的纬圆半径是，经度差是90，
9、所以ABR，球心角是，则A、B两地的球面距离是故答案为：8已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R23R3，则它们的体积V1，V2，V3满足的等量关系是解：因为V1R13，所以，R1同理R2，R3由R1+2R23R3，得它们的体积V1，V2，V3满足的等量关系是：故答案为：9如图，在空间直角坐标系Oxyz中，四面体COAB的主视图AOC是面积为4的直角三角形，且CO2，OAB是正三角形，且点B在平面xOy上，则此四面体的左视图的面积等于6解：四面体COAB的主视图AOC是面积为4的直角三角形，且CO2，OAB是正三角形，所以，则：AO4，由于OAB为等边三角形，所以BO4，所以BO在平面
10、yoz上的射影长，则四面体的左视图的面积S故答案为：610若三个平面、两两垂直，直线l与平面、所成的角都等于，cos解：由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，其中ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，直线l为B1D，平面、分别在正方体的三个面上，满足两两垂直，BD，B1D，此时直线l与三个平面、所成角都相等，等于，于是直线l与平面成角为B1DB，COS，故答案为：11如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B是母线SA上一点，且AB10公里为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长
11、度为18公里解：如图，展开圆锥的侧面，过点S作AB的垂线，垂足为H，记点P为AB上任意一点，联结PS，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的AB，上坡即P到山顶S的距离PS越来越小，下坡即P到山顶S的距离PS越来越大，下坡段的铁路，即图中的HB，由RtSABRtHSB，可得：，可求出HB18即下坡段铁路的长度为 18公里故答案为：1812在平面xOy上，将曲线x2+1（x0）与y轴围成的封闭图形记为D，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出的体积值为解：根据题意知，曲线x2+1（x0）与y轴围成的封闭图形为半椭圆，如图所示：该平面图形绕y轴旋转一周而成的几何
12、体为，构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理，可知的体积V2（122122）故答案为：二、选择题13空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（）A充要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件解：在空间四点中，当四点不共面时，其中任意三点必不共线，必要性成立，当任意三点不共线时，不能得出四点不共面，如平行四边形的四个顶点，充分性不成立，无任何三点共线是四点不共面的必要不充分条件故选：C14设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）（1）若m，n，则mn；（2）若，m，则m；（3）若m，n，则mn；（4）若，则A1B2C3D
13、4解：m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，对于（1），若m，n，则mn，故（1）正确；对于（2），若，所以，由于m，则m，故（2）正确；对于（3），若m，n，则mn或m和n异面或m和n相交，故（3）错误；（4）若，则或和相交，故（4）错误故选：B15在棱长为10的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P平行于A1C的直线与正方体表面（）相交AABCDBBB1C1CCCC1D1DDAA1B1B解：过P作PNA1A于N，A1N3，PN2，连接A1P，延长A1P交AD于M，设AMx，即，于是x10，连接MC，过
14、P作PQA1C，交MC于Q，所以Q在平面ABCD内，故选：A16对于直角坐标平面内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”：|AB|x2x1|+|y2y1|给出下列三个命题：若点C在线段AB上则AC+BCAB；在ABC中，若C90，则AC2+BC2AB2；在ABC中，AC+BCAB其中的真命题为（）ABCD解：若点C在线段AB上，设点C（x0，y0），那么x0在x1，x2之间y0在y1，y2之间，|AC|+|CB|x0x1|+|y0y1|+|x2x0|+|y2y0|x2x1|+|y2y1|AB|，故正确；平方后不能消除x0，y0，命题不成立，故不正确；在ABC中
15、，|AC|+|CB|x0x1|+|y0y1|+|x2x0|+|y2y0|x0x1+y0y1+x2x0+y2y0|x2x1|+|y2y1|AB|，故不正确故选：C三、解答题17如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA13（1）求四棱锥A1ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小解：（1）长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA13，四棱锥A1ABCD的体积：4（2）DD1CC1，A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），tanA1CC1，A1CC1异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18点A、B分别是椭圆+1长轴的左、右顶点，点F是
16、椭圆的右焦点点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解：（1）由已知可得点A（6，0），F（4，0），设点P（x，y），则（x+6，y），（x4，y）由已知可得，2x2+9x180，解得x，或x6由于y0，只能x，于是y点P的坐标是（，）（2）直线AP的方程是 ，即 xy+60设点M（m，0），则M到直线AP的距离是于是|6m|，又6m6，解得m2，故点M（2，0）设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有 d2（x2）2+y2x24x+4+20x2（x）2+15，当x时，d取
17、得最小值19某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则2r24，解得r12cmh1cm笼具的体积Vr2h（1223012216）355211158.9cm3（2）圆柱的侧面积S12rh720cm2，
18、圆柱的底面积S2r2144cm2，圆锥的侧面积为S3rl240cm2故笼具的表面积SS1+S2+S31104cm2故制造50个这样的笼具总造价为：元答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要元20已知点F1、F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且MF1F230（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l过点（0，1）且与双曲线C交于A、B两点，若A、B中点的横坐标为1，求直线l的方程；（3）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求证：为定值解：（1）由双曲线的方程可得a1，在直角三角形MF1F2中，M
19、F1F230，MF2F2F1，可得|MF1|2|MF2|，且|MF1|MF2|2a2，解得|MF2|2，又|MF2|b2，所以b22，则双曲线的方程为；（2）由题意可得直线l的斜率存在，设为k，直线l的方程为ykx+1，联立，可得（2k2）x22kx30，4k2+12（2k2）0，解得k设A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2由A、B中点的横坐标为1，可得1，解得k1或2（舍去），所以直线l的方程为yx+1；（3）证明：设P（m，n），则2m2n22，由，解得P1（，），由，解得P2（，），所以（，）（，）+，即21如图，ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与
20、B1D1的交点（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，异面直线AD1与A1C1所成角的大小为，求证：tan22tan2+1；（2）若点C到平面AB1D1的距离为，求二面角AB1D1A1；（3）在（2）的条件下，若平面BB1C1B内存在点P满足P到直线BC的距离与到直线C1D1的距离相等，求的最小值【解答】（1）证明：设正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为h，因为AA1底面A1B1C1D1，所以AB1A1，于是tan，因为ACA1C1，如图所示，所以CAD1，由勾股定理可知，CA，CD1AD1，在等腰三角形CAD1中，底边CA上的高为，所以tan，则tan22h2+12tan2+1
21、；（2）解：因为O1为A1C1与B1D1的交点，三角形AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，所以AO1B1D1，根据线面垂直的判定定理可知，B1D1平面ACC1A1，由面面垂直的判定定理可知，平面AB1D1平面ACC1A1，且平面AB1D1平面ACC1A1AO1，、则点C在平面AB1D1的射影H在AO1上，即CH，如图所示，在矩形ACC1A1中，AH，因为RtAA1ORtCHA，则，即，解得AA12，所以正棱柱ABCDA1B1C1D1的高2，因为，O为B1D1的中点，则AO1B1D1，又O1为正方形对角线A1C1与B1D1的交点，则A1O1B1D1，所以AO1A1为二面角的AB1D1A1平面角，则RtAO1A1中，故tanAO1A1，所以二面角AB1D1A1的大小为arctan；（3）解：以A1为空间直角坐标系的坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设P（1，y，z）（0y1），因为C1D1平面BB1C1C，故C1D1PC1，由题意可知，即44z（y1）2（0z1），所以有，当y1时，y2有最大值1，此时z1，而（z2）2+1也达到最小值，所以有最大值，则有最小值，最小值为，故的最小值为