1、6.3.5平面向量数量积的坐标表示素养目标定方向素养目标学法指导1掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(数学运算)2能够利用向量的数量积解决模长、夹角等问题.(数学运算)通过推导数量积的坐标运算及求夹角和模及向量垂直的判断中，加深对数量积的坐标运算的理解，两向量垂直的坐标表示可以与平行的坐标表示进行类比.必备知识探新知知识点1平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2).数量积两个向量的数量积等于_它们对应坐标的乘积的和_，即ab_x1x2y1y2_两个向量垂直ab_x1x2y1y20_知识解读1公式ab|a|b|cosa，b与abx1x2y1y2都是用来
2、求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式ab|a|b|cosa，b求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式abx1x2y1y2求解.2已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab与ab的坐标表示如下：abx1y2x2y1，即x1y2x2y10；abx1x2y1y2，即x1x2y1y20两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反.知识点2平面向量的模与夹角的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则有下表：坐标表示模|a|2_xy_或|a|_设A(
3、x1，y1)，B(x2，y2)，则|_夹角cos_(a，b为非零向量)知识解读向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得a(x，y)，|a|，即|a|为点A到原点的距离.同样，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|，即平面直角坐标系中任意两点间的距离.由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算.关键能力攻重难题型探究题型一平面向量数量积的坐标运算典例1(1)设a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，则(a2b)c(C)A12B0
4、C3D11(2)已知a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，若(8ab)c30，则x(C)A6B5C4D3(3)已知a(2，1)，a2b(6,3)，若bc14，|c|5，则向量c的坐标为_(3,4)或(4,3)_.解析(1)a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，a2b(5,6)，(a2b)c(5)3623(2)由题意可得，8ab(6,3)，又(8ab)c30，c(3，x)，183x30，解得x4(3)因为2b(a2b)a(6,3)(2，1)(4,4)，所以b(2,2).设c(x，y)，则由题可知解得或所以c(3,4)或c(4,3).归纳提升平面向量数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积
5、运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.【对点练习】(1)在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0)，B(1,1)，则_1_.(2)在平行四边形ABCD中，(1,2)，(3,2)，则_3_.解析(1)如图所示，在正方形OABC中，A(0,1)，C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则(1,0)，(1，1)，从而(1,0)(1，1)110(1)1(2)设AC，BD相交于点O，则(1,2).又(1,2)，(1,2)(1,2)
6、143题型二与平面向量模有关的问题典例2(1)设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|3ab|等于(A)ABCD(2)已知向量a(cos ，sin )，向量b(，0)，则|2ab|的最大值为_2_.解析(1)ab，1y2(2)0，解得y4，从而3ab(1,2)，|3ab|.(2)2ab(2cos ，2sin )，|2ab|，当且仅当cos 1时，|2ab|取最大值2.归纳提升求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算：若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|.【对点练习】(1)
7、已知向量a(1,2)，b(3,4)，cab(R)，则|c|取最小值时，的值为_.(2)已知|a|10，b(1,2)，且ab，求a的坐标.解析(1)由a(1,2)，b(3,4)，cab(13，24)|c|2c2(13)2(24)22521052524当时，|c|min2(2)设a的坐标为(x，y)，由题意得解得或所以a(2，4)或a(2，4).题型三向量夹角和垂直问题典例3设平面上向量a(cos ，sin )(090)，b.(1)求a与b的夹角.(2)求证：ab与ab垂直.解析(1)由题意知，|a|1，|b|1，abcos sin ，则cos cos sin cos(120).090，30120
8、120.又0180，120，即两向量的夹角为120.(2)证明：(ab)(ab)cos2sin210，(ab)(ab).归纳提升利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.(2)利用|a|计算出这两个向量的模.(3)由公式cos 直接求出cos 的值.(4)在0，内，由cos 的值求角.【对点练习】(1)设向量a(3,3)，b(1，1).若(ab)(ab)，则实数_3_.(2)已知向量a与b的夹角为60，且a(2，6)，|b|，则ab_10_.解析(1)(ab)(ab)(ab)(ab)a22b20182203(2)因为a(2，6)，所以|
9、a|2.又|b|，向量a与b的夹角为60，所以ab|a|b|cos 60210易错警示忽视向量共线致误典例4已知a(1，2)，b(1，)，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是(A)A(，2)BCD错解a与b的夹角为锐角，cos0，即ab120，得，故选D错因分析由于0，利用cos 来判断角时，要注意cos 0也有两种情况：一是为锐角，二是0本题错解中就是忽略了0这种情况，此时cos 0成立，但夹角不是锐角.正解a与b的夹角为锐角，cos0且cos1，即ab0且a与b方向不同，即ab120，且amb(m0)，解得(，2)，故选A误区警示对于非零向量a与b，设其夹角为，则为锐角cos 0，且cos 1ab0，且amb(m0)；为钝角cos 0，且cos 1ab0，且amb(m0)；为直角cos 0ab0【对点练习】设a(2，x)，b(4,5)，若a与b的夹角为钝角，求x的取值范围.解析由cos0得x，因为ab时有4x100，即x，当x时，a(2，)b，所以a与b反向，故x且x.
