1、河北省邢台二中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|y=，则B=x|x6，则AB等于( )A2，6）B2，6C2，8D（，6考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出y=的定义域即集合A，从而求AB解答：解：y=的定义域是：，解得2x8A=2，8，又B=x|x6，AB=2，6故选B点评：考查集合的交集的求法，对数函数的定义域的求解是解题的关键，考查计算能力2已知复数z1=1+i，z2=22i，则等于( )A8B4iC44iD4+4i考点：复数代数形式的乘除运算 专题
2、：数系的扩充和复数分析：求出两复数的共轭复数，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解解答：解：z1=1+i，z2=22i，=故选：C点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题3曲线y=x31在x=1处的切线方程为( )Ax=1By=1Cy=3x3Dy=2x2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，再求出x=1时的函数值，则切线方程可求解答：解：y=x31，y|x=1=3，y=3x2，又当x=1时y=0，曲线y=x31在x=1处的切线方程为y=3x3故选：C点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处
3、的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题4已知等比数列an满足a2=2，a4a6=4a72，则a4的值为( )AB1C2D考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由题意和等比数列的性质得q4=，求出q2，再由a2=2求出a4的值解答：解：设等比数列an的公比是q，由等比数列的性质得，a4a6=4a72，a52=4a72，则q4=，解得q2=，又a2=2，所以a4=a2q2=1，故选：B点评：本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题5在ABC中，M是BC的中点，AM=5，BC=6，则等于( )A9B12C16D30考点：平面向量数量积的运算 专题
4、：平面向量及应用分析：将，分别用三角形法则表示，然后用数量积计算所求解答：解：由已知，得到BM=MC=3，所以=（）（）=+=5232=16；故选C点评：本题考查了向量的三角形法则以及数量积的运用，属于基础题6已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为( )AB2C4D考点：简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：三棱锥的正视图如图所示，即可得出该三棱锥的正视图面积=解答：解：三棱锥的正视图如图所示，该三棱锥的正视图面积=2故选：B点评：本题考查了三视图的有关知识、三角形面积计算公式，属于基础题
5、7若变量x，y满足约束条件，则z=7x+2y的最大值是( )A27B19C13D9考点：简单线性规划 专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合的到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，3）化目标函数z=7x+2y为，由图可知，当直线过B时，Z最大，为z=73+23=27故选：A点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8已知函数f（x）=2x2，则函数y=|f（x）|的图象可能是( )ABCD考点：指数函数的图像变换 专题：数形结合分析：因为y=|
6、f（x）|=，故只需作出y=f（x）的图象，将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即可解答：解：先做出y=2x的图象，在向下平移两个单位，得到y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象故选B点评：本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象9已知m0，n0，且2m，3n成等差数列，则+的最小值为( )AB5CD15考点：基本不等式；等差数列的通项公式 专题：不等式的解法及应用分析：由2m，3n成等差数列，可得2m+3n=5再利用“乘1法”和基本不等式的性质解答：解：2m，3
7、n成等差数列，2m+3n=5m0，n0，+=5，当且仅当n=m=1时取等号+的最小值为5故选：B点评：本题考查了等差数列的通项公式、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10已知函数f（x）=sin（x+）cos（x+）（|）的图象关于y中对称，则y=f（x）在下列哪个区间上是减函数( )A（0，）B（，）C（，）D（，2）考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：首先，结合所给函数图象关于y轴对称，得到该=，然后，化简函数即可解答：解：函数f（x）的图象关于y中对称，当x=0时，函数f（x）取得最大（或最小）值，此时，f（x）=2s
8、in（），|，=，f（x）=sin（x）cos（x）=2cos，函数f（x）在区间（，）上为减函数，故选：C点评：本题重点考查了三角函数公式、三角恒等变换等公式、属于中档题11命题p：幂函数y=在（，0）上单调递减；命题q：已知函数f（x）=x33x2+m，若a，b，c1，3，且f（a），f（b），f（c）能构成一个三角形的三边长，且4m8，则( )Ap且q为真命题Bp或q为假命题C（p）且q为真命题Dp且（q）为真命题考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：由幂函数易判命题p为真命题；求导数可得函数的单调性，结合三角形的三边关系可的m的范围，可判命题q为假命题；由复合命题的真假可得解答：解
9、：幂函数y=是偶函数，在（0，+）单调递增，在（，0）上单调递减，命题p为真命题；f（x）=x33x2+m，f（x）=3x26x=3x（x2），令f（x）0可得0x2，函数f（x）=x33x2+m在（1，2）单调递减，在（2，3）单调递增，f（3）=mf（1）=m2，函数f（x）在1，3的最大值为f（3）=m，最小值为f（2）=m4，由三角形的三边关系可得（m4）+（m4）m，解得m8，故命题q为假命题；故p且（q）为真命题故选：D点评：本题考查复合命题的真假，涉及函数的单调性和导数，属基础题12已知x0是函数的一个零点，若x1（1，x0），x2（x0，+），则( )Af（x1）0，f（x2）
10、0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）0考点：函数的零点 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得方程的解即为函数f（x）的零点，在同一坐标系中作出函数y=1nx与的图象，由图象易知，即f（x1）0，同理可得，f（x2）0，由此得出结论解答：解：令 =0，从而有，此方程的解即为函数f（x）的零点在同一坐标系中作出函数y=1nx与的图象，如图所示由图象易知，从而 ，故，即f（x1）0，同理可得，f（x2）0故选D点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
11、，把答案填在答题卷的横线上13已知|=1，=，（）2=，则|=考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：运用平面向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到结论解答：解：由于|=1，=，则（）2=12=，即有|=故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题14已知sin（+）=，则cos2=考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：先求得sin（+）=cos=，则有cos2=2cos21=解答：解：sin（+）=cos=，则cos2=2cos21=故答案为：点评：本题主要考察了二倍角的
12、余弦，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查15正方形AP1P2P3的边长为4，点B，C分别是边P1，P2，P3，P4的中点，沿AB，BC，CA折成一个三棱锥PABC（使P1，P2，P3重合于P），则三棱锥PABC的外接球体积为8考点：球的体积和表面积 专题：空间位置关系与距离分析：根据题意，得折叠成的三棱锥PABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥PABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP=4、BP=CP=2，算出外接球的半径R=，结合球的体积公式即可算出三棱锥PABC的外接球的体积解答：解：根据题意，得三棱锥PABC中，AP=4
13、，BP=CP=2PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥PABC的外接球的直径2R=2，可得三棱锥PABC的外接球的半径为R=，根据球的体积公式，得三棱锥PABC的外接球的体积为；点评：本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积着重考查了长方体的对角线长公式、三棱锥的外接球和球的体积公式等知识，考查空间想象能力，属于中档题16已知an是公差不等于0的等差数列，a1=2且a2，a4，a8成等比数列，若bn=，则数列bn的前n项和的取值范围是，）考点：数列的求和 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：设等差数列an是公差为d且d不为0，由题意和等比中项的性质列出方程求出d的值，代入等差数列的通
14、项公式求出an，再代入bn=化简后进行裂项，由裂项相消法求出数列bn的前n项和，化简后由式子个特点和n的取值范围求出它的范围解答：解：设等差数列an是公差为d，且d不为0，由a1=2且a2，a4，a8成等比数列得，（2+3d）2=（2+d）（2+7d），解得d=2或d=0（舍去），所以an=a1+（n1）d=2n，则bn=（），所以数列bn的前n项和Sn=b1+b2+bn=（1）+（）+（）=1，又n1，所以Sn，所以数列bn的前n项和Sn的取值范围是，），故答案为：，）点评：本题考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式，数列的求和方法：裂项相消法的应用，以及数列的函数特性三、解答题：本大题共
15、6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+sinB=2sinC，a=2b（1）求角A的余弦值；（2）若c=4，求ABC的面积考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：（1）已知等式sinA+sinB=2sinC利用正弦定理化简得到a+b=2c，代入a=2b中表示出b，利用余弦定理表示出cosA，把表示出的a与b代入求出cosA的值即可；（2）由cosA的值求出sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积解答：解：（1）把sinA+sinB=2sinC，利用正弦定理化简得：a+b=2c，把a=2b代入
16、得：3b=2c，即b=c，a=c，由余弦定理得：cosA=；（2）由cosA=，得到sinA=，c=4，b=，则SABC=bcsinA=点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键18在R上定义运算：xy=x（2y），已知f（x）=（x+1）（x+1a）（1）若关于x的不等式f（x）0的解集是A=x|bx1，求实数a，b；（2）对于任意的x，不等式f（x）1恒成立，求实数a的取值范围考点：其他不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：（1）由新定义可得f（x）=（x+1）（a+1x），由f（x）0的解集是A=x|bx1可得b和1为方程（x+1）（a+1x
17、）=0的根，易得答案；（2）由题意可得（x+1）（a+1x）1恒成立，即x2axa0恒成立，由=a2+4a0可得a的范围解答：解：（1）xy=x（2y），f（x）=（x+1）（x+1a）=（x+1）2（x+1a）=（x+1）（a+1x），又f（x）0的解集是A=x|bx1，b和1为方程（x+1）（a+1x）=0的根，b=1，a+1=b，解得a=0，b=1；（2）对于任意的x，不等式f（x）1恒成立，（x+1）（a+1x）1恒成立，化简可得x2axa0恒成立，=a2+4a0，解得4a0，实数a的取值范围为4，0点评：本题考查不等式的解集，涉及新定义和恒成立问题，属中档题19如图，四棱锥PBCDE
18、中，四边形ABCD为菱形，且DAB=60，PAD为对边三角形，平面PAD平面ABCD，AB=2，E为AD的中点（1）求证：ADPB；（2）求点E到平面PBC的距离考点：点、线、面间的距离计算 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）连接PE、EB、BD，分别在等边PAD和等边BAD中利用“三线合一”，证出PEAD且BEAD，结合线面垂直判定定理证出AD平面PBE，从而可得ADPB；（2）过E作EFPB于F，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定与性质，证出EF平面PBC，得EF长就是点E到平面PBC的距离根据题中数据算出RtPEB中各边之长，利用直角三角形的面积公式算出EF的长，即得点E到
19、平面PBC的距离解答：解：（1）连接PE、EB、BD，PAD为等边三角形，E为AD的中点，PEAD；四边形ABCD为菱形，且DAB=60，E为AD的中点，BEAD；PEBE=E，AD平面PBE，PB平面PBE，ADPB；（2）过E作EFPB于F平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PE平面PAD，PEADPE平面ABCD，BC平面ABCD，PEBC菱形ABCD中，ADBC，BEAD，BEBCPE、BE是平面PBE内的相交直线，BC平面PBEEF平面PBE，BCEF，EFPB且PBBC=B，EF平面PBC，得EF长就是点E到平面PBC的距离ADB、ADP是边长为2的等边三角形，R
20、tPEB中，PE=BE=AD=，得PB=BE=由此可得：EF=，即点E到平面PBC的距离等于点评：本题在四棱锥中证明线线垂直，并求点到平面的距离着重考查了面面垂直性质定理、线面垂直的判定与性质，考查了等边三角形的性质和点到平面距离求法等知识，属于中档题20已知函数f（x）=（a0，x0）的图象过点（a，0）（1）判断函数f（x）在（0+）上的单调并用函数单调性定义加以证明；（2）若a函数f（x）在，5a上的值域是，5a，求实数a的值考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域 专题：计算题；函数的性质及应用分析：（1）代入点的坐标，求得f（x），再由单调性的定义，即可证得f（x）在（0+）上为增函
21、数；（2）由函数的单调性，即可得到最值，解方程，即可求得a解答：解：（1）函数f（x）=（a0，x0）的图象过点（a，0），则0=，则b=1，则f（x）=，f（x）在（0+）上为增函数，理由如下：设0mn，则f（m）f（n）=（）=，由于0mn，则mn0，mn0，则f（m）f（n）0，则f（x）在（0+）上为增函数；（2）由于f（x）在（0+）上为增函数，则函数f（x）在，5a上的值域是f（），f（？5a），即有，解得，a=点评：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题21已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且满足2Sn=an2+an（1）求证：an为等差数列，并求数
22、列an的通项公式；（2）设bn=2anlog2an，数列bn的前n项和为Hn，求使得Hn+n2n+150成立的最小正整数n考点：数列的求和；等差数列的前n项和；等差关系的确定 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由2Sn=an2+an，得2Sn1=an12+an1，从而an是公差为1的等差数列，由此能求出数列an的通项公式（2）bn=2anlog2an=n2n，由此利用错位相减法能求出Hn=n2n+1+2n+12，由此能求出使得Hn+n2n+150成立的最小正整数n解答：解：（1）由2Sn=an2+an得2Sn1=an12+an1，得：2an=，anan1=1，an是公差为1的等差数列，由，得
23、a1=1，an=1+（n1）1=n（2）bn=2anlog2an=n2n，Hn=（12+222+323+n2n），2Hn=（22+223+324+n2n+1），Hn=2+22+23+2nn2n+1=n2n+1+2n+12，Hn+n2n+150，2n+152，n的最小值为5点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的n的最小值的求法，是中档题，解题时要注意错位相减求和法的合理运用22已知函数f（x）=x2+2axa2lnx1（1）a0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式2xlnxxf（x）+a2+1恒成立，其中f（x） f（x）是f（x）的导数，求实数a的取值范围考点：利用导数研究
24、函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：导数的概念及应用分析：（1）求出f（x）=3x+2a，（x0），分类讨论当a0时，当a0时，解不等式即可（2）构造函数h（x）=lnx，h（x）=，求解最大值，即可求解a的取值范围解答：解：（1）以题意得：函数的定义域为：（0，+），函数f（x）=x2+2axa2lnx1，f（x）=3x+2a，（x0），由f（x）=3x+2a=0，（x0），得出：x=a，x=，当a0时，由f（x）0（x0），得0xa，由f（x）0（x0），得xa，函数f（x）=x2+2axa2lnx1，单调递增为（a，+），单调递减为（0，a，）；当a0时，由f（x）0，（x0），得：0，由f（x）0，（x0），得x；函数f（x）=x2+2axa2lnx1，单调递增为（，+），单调递减为（0，），（2）以题意x（0，+），不等式2xlnxxf（x）+a2+1恒成立，等价于2xlnx2+2ax+1在（0，+）上恒成立，可得：alnx，在（0，+）上恒成立，设h（x）=lnx，h（x）=，h（x）=0，得：x=1，x=（舍去），当0x1时，h（x）0，当x1时，h（x）0，当x=1时，h（x）max=2，a2，实数a的取值范围：2，+）点评：本题考查了利用导数在函数单调性中的应用，运用导数求解函数最值，解决不等式恒成立问题，属于难题
