1、11.2余弦定理1.掌握余弦定理及余弦定理的推导过程2.了解余弦定理的几种变形公式3.能熟练应用余弦定理解三角形余弦定理余弦定理公式表达a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C语言叙述三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍推论cos A，cos B，cos C作用实现三角形中边与角的互化1在ABC中，已知b2，c3，A60，则a()AB2C D7解析：选C.由余弦定理，得a2b2c22bccos A223267，所以a.2在ABC中，已知a2c2b2ab，则角C的大小为_解析：由余弦定理，得cos C，所以C
2、.答案：3在ABC中，已知a7，b5，c3，求ABC的最大内角解：因为a为最大边，所以A为最大角，由余弦定理得：cos A，所以A120.利用余弦定理解三角形(1)已知ABC中，abc2(1)，求ABC的各角大小(2)在ABC中，已知a2，b2，C15，求A.【解】(1)设a2k，bk，c(1)k(k0)，利用余弦定理，有cos A，所以A45.同理可得cos B，B60.所以C180AB75.(2)法一：由余弦定理，得c2a2b22abcos1584，所以c.又由正弦定理，得sin A.又因为ba，即 BA，且0A180，所以A30.法二：由余弦定理，得c2a2b22abcos1548222
3、84，所以c.因为cos A，而0A180，所以A30.求三角形中角的大小，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理利用正弦定理求出的角一定要注意检验，利用余弦定理求出的角不必再进行检验，因为ycosx在x(0，)上是单调函数 1.在ABC中，已知a4，c2，B30，解这个三角形解：由余弦定理，得b2a2c22accos B42(2)2242cos 304，所以b2，由正弦定理，得 .解得sin A1，因此A90，故C60.2已知ABC的三边长为a2，b2，c，求ABC各角的度数解：由余弦定理得：cos A，所以A60.cos B，所以B45.所以C180AB75.利用余弦定理判断三角形的形状在AB
4、C中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，试确定ABC的形状【解】因为(abc)(bca)3bc，所以a2b2c2bc，又因为a2b2c22bccos A，则2cos A1，所以A60.又因为sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，所以sin(BC)0，所以BC.又因为BC120，所以ABC是等边三角形判断三角形形状的方法(1)利用正、余弦定理化角成边，利用代数运算求出三边的关系； (2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和定理得到内角关系，从而判定形状在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC
5、的形状是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形 D不能确定解析：选A.由正弦定理，及sin2Asin2Bsin2C得a2b2c2，根据余弦定理，得cos C0)，所以cos B.4在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2b2bc，sin C2sin B，则A()A30 B60C120 D150解析：选A.由sin C2sin B得c2b.由余弦定理得cos A.因为A(0，180)，所以A30.故选A.5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2b2c2，则的值为()A BC D解析：选C.因为a2b2c2，所以b2a2c2.所以cos B.所以.6在ABC中，a
6、2，b4，C60，则A_解析：因为c2a2b22abcos C2242224cos 6012，所以c2.由正弦定理，得sin A.因为ac，所以A60，所以A30.答案：307在ABC中，B60，b2ac，则ABC的形状为_解析：由余弦定理得b2a2c22accos 60ac，即a22acc20，所以ac.又B60，所以ABC为等边三角形答案：等边三角形8在ABC中，A，ac，则_解析：在ABC中，A，所以a2b2c22bccos，即a2b2c2bc.因为ac，所以3c2b2c2bc，所以b2bc2c20，所以(b2c)(bc)0，所以bc0，所以bc，所以1.答案：19设锐角ABC的内角A，
7、B，C的对边分别为a，b，c，已知a2bsin A.(1)求B的大小；(2)若a3，c5，求b.解：(1)由a2bsin A，根据正弦定理，得sin A2sin Bsin A，因为sin A0，所以sin B.因为ABC为锐角三角形，所以B.(2)根据余弦定理，b2a2c22accos B27252357.所以b.10. 如图，ABC的顶点坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，0)(1)若c5，求sin A；(2)若A为钝角，求c的取值范围解：(1)因为A(3，4)，B(0，0)，所以AB5，当c5时，BC5，所以AC 2.由余弦定理，知cos A.因为0A，所以sin A .(2)因
8、为A(3，4)，B(0，0)，C(c，0)，所以AC2(c3)242，BC2c2，由余弦定理，得cos A.因为A为钝角，所以cos A0，即AB2AC2BC20，所以52(c3)242c2506c.故c的取值范围为.B能力提升11在ABC中，三边长AB7，BC5，AC6，则等于()A19 B14C18 D19解析：选D.由余弦定理，得cos B，所以cos，cos(B)cos B.所以|cos，75()19.12在ABC中，A60，b1，其面积为，则_解析：因为SABCsin Abc，所以c4，a2b2c22bccos A13，所以a，所以.答案：13在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为
9、a，b，c，且满足ca2b2.(1)求角A；(2)若a，求bc的取值范围解：(1)因为ca2b2，所以a2c2b2bc2a22b2，a2b2c2bc.所以cos A.因为A(0，)，所以A.(2)由正弦定理，得2，所以b2sin B，c2sin C.所以bc2sin B2sin C2sin B2sin(AB)2sin B2sin Acos B2cos Asin B3sin Bcos B2sin.因为B，所以B，所以sin.所以bc(，214(选做题)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)证明：sin Asin Bsin C；(2)若b2c2a2bc，求tan B.解：(1)证明：根据正弦定理，可设k(k0)则aksin A，bksin B，cksin C，代入中，有，变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)在ABC中，由ABC，得sin(AB)sin(C)sin C，所以sin Asin Bsin C.(2)由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cos A，所以sin A.由第一问，知sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B，故tan B4.
