1、2015-2016学年河北省邢台一中高二（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1抛物线y=x2的准线方程是（）A4y+1=0B4x+1=0C2y+1=0D2x+1=02若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A2B2C4D43若直线ax+by=2与圆x2+y2=1有公共点，则（）Aa2+b24Ba2+b24C +4D +44若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A（0，+）B（0，2）C（1，+）D（0，1）5“a=1”是“函数f（x）=（
2、x1）2在区间a，+）上为增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6曲线与曲线的（）A焦距相等B离心率相等C焦点相同D准线相同7若椭圆+=1（ab0）的离心率为，则双曲线=1的渐近线方程为（）Ay=xBy=2xCy=4xDy=x8下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D命题“xR使得x2+x+10”的否定是：“xR均有x2+x+10”9已知直线l：y
3、=x+m（mR），若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且P在y轴上，则该圆的方程为（）A（x2）2+y2=8B（x+2）2+y2=8Cx2+（y2）2=8Dx2+（y+2）2=810棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在线段AB1，BC1上，且AM=BN，给出以下结论：其中正确的结论的个数为（）AA1MN异面直线AB1，BC1所成的角为60四面体B1D1CA的体积为A1CAB1，A1CBC1A1B2C3D411一个正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心）的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在过该球球心的一个截面上，则该正三棱锥的体
4、积是（）ABCD12已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2B（1，2）C2，+）D（2，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13抛物线y=x2上的点到直线4x+3y8=0的距离的最小值是14已知圆C过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是15在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A（4，0）和C（4，0），顶点B在双曲线上，则=16已知点A（5，0），B（1，3），若圆x2+y2=r2（r0）上共有四个点M，N，P，Q，使得
5、MAB、NAB、PAB、QAB的面积均为5，则r的取值范围是三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知以点C（1，2）为圆心的圆与直线x+y1=0相切（1）求圆C的标准方程；（2）求过圆内一点P（2，）的最短弦所在直线的方程18已知抛物线C：y2=2px（p0）过点A（1，2）（）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由19已知C与两平行直线xy=0及xy4=0都相切，且圆心C在直线x+y=0上，（）求C的方程；（）斜率为2的直线l与C
6、相交于A，B两点，O为坐标原点且满足，求直线l的方程20如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB=2CD=2BC，EAEB（）求证：ABDE；（）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（）线段EA上是否存在点F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由21已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2（其中O为原点）求k的取值范围22已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过两点（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的左、右焦点分
7、别是F、H，过点H的直线l：x=my+1与椭圆E交于M、N两点，则FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由2015-2016学年河北省邢台一中高二（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1抛物线y=x2的准线方程是（）A4y+1=0B4x+1=0C2y+1=0D2x+1=0【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的方程，可求得q，进而根据抛物线的性质可知其准线方程【解答】解：抛物线y=x2，P=，准线方程为y=，即4y+1=0故
8、选A2若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A2B2C4D4【考点】椭圆的简单性质【分析】通过椭圆、抛物线的焦点相同，计算即得结论【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2b2=4，到椭圆的右焦点为（2，0），抛物线y2=2px的焦点（2，0），p=4，故选：C3若直线ax+by=2与圆x2+y2=1有公共点，则（）Aa2+b24Ba2+b24C +4D +4【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据直线ax+by=2和圆x2+y2=1有公共点，通过圆心到直线的距离小于等于半径，即可推出a，b关系【解答】解：因为直线ax+by=2和圆x2+y2=1有公共点，所以圆
9、心到直线ax+by2=0的距离d=1，解得a2+b24，故选：B4若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A（0，+）B（0，2）C（1，+）D（0，1）【考点】椭圆的定义【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围【解答】解：方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆故0k1故选D5“a=1”是“函数f（x）=（x1）2在区间a，+）上为增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据二次函数的单调性的性质，以及充分条件和必要
10、条件的定义即可得到结论【解答】解：若函数f（x）=（x1）2在区间a，+）上为增函数，则a1，则“a=1”是“函数f（x）=（x1）2在区间a，+）上为增函数”的充分不必要条件，故选：A6曲线与曲线的（）A焦距相等B离心率相等C焦点相同D准线相同【考点】圆锥曲线的共同特征【分析】根曲线的方程可知前者为椭圆，后者为双曲线，排除B；前者焦点在x轴，后者焦点在y轴，排除CD，答案可知【解答】解：由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，排除C，D；椭圆的离心率小于1，双曲线离心率大于1排除B，故选A7若椭圆+=1（ab0）的离心率为，则双曲线=1的渐近线方程为（）Ay=x
11、By=2xCy=4xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到【解答】解：椭圆+=1（ab0）的离心率为，则=，即有=，则双曲线=1的渐近线方程为y=x，即有y=x故选A8下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D命题“xR使得x2+x+10”的否定是：“xR均有x2+x+10”【考点】命题的真假判断与应用【分析】写出命题的否
12、命题判断A；写出命题的逆命题判断B；由互为逆否命题的两个命题共真假判断C；直接写出特称命题的否定判断D【解答】解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x21，则x1”，故A错误；命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”，故B错误；命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，故其逆否命题为真命题，C正确；命题“xR使得x2+x+10”的否定是：“xR均有x2+x+10”，故D错误故选：C9已知直线l：y=x+m（mR），若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且P在y轴上，则该圆的方程为（）A（x2）2+y2=8B（x+2）2
13、+y2=8Cx2+（y2）2=8Dx2+（y+2）2=8【考点】圆的标准方程【分析】由题意可得，点P的坐标为（0，m），再根据圆的半径MP即点M到直线l的距离，求得m的值，可得半径，从而得到圆的标准方程【解答】解：由题意可得，点P的坐标为（0，m），圆的半径MP即点M到直线l的距离，=，求得 m=2，故半径为MP=2，故圆的方程为 （x2）2+y2=8，故选：A10棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在线段AB1，BC1上，且AM=BN，给出以下结论：其中正确的结论的个数为（）AA1MN异面直线AB1，BC1所成的角为60四面体B1D1CA的体积为A1CAB1，A1CBC1
14、A1B2C3D4【考点】直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角【分析】根据正方体的性质和线面平行、性质的性质，可证出AA1MN，得到正确；根据异面直线所成角的定义与正方体的性质可得异面直线AB1，BC1所成的角为60，得到正确；根据正方体、锥体的体积公式加以计算，可得四面体B1D1CA的体积为，得到正确；利用线面垂直的判定与性质，结合正方体的性质可证出A1CAB1且A1CBC1，得到正确即可得到本题答案【解答】解：对于，分别作NEBC，MFAB，垂足分别为E、F，连结EF由AM=BN利用正方体的性质，可得四边形MNEF为平行四边形MNEF，可得MN平面ABCDAA1平面ABCD，AA1MN
15、，因此可得正确；对于，连结B1D1、AD1，可得B1AD1就是异面直线AB1，BC1所成的角B1AD1是等边三角形，B1AD1=60因此异面直线AB1，BC1所成的角为60，得到正确；对于，四面体B1D1CA的体积为V=4=14=，得到正确；对于，根据A1B1平面BB1C1C，得到A1B1BC1，由正方形BB1C1C中证出B1CBC1，所以BC1平面A1B1C，结合A1C平面A1B1C，得A1CBC1，同理可证出A1CAB1，从而得到正确综上所述，四个命题都是真命题故选：D11一个正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心）的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在过该
16、球球心的一个截面上，则该正三棱锥的体积是（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体【分析】作棱锥的高OP，则OP=OC=1，利用等边三角形的性质求出底面边长，从而得出棱锥的体积【解答】解：设正三棱锥底面中心为O，连接OP，延长CO交AB于D，则CD=OCO是三棱锥PABC的外接球球心，OP=OC=1，CD=，BC=VPABC=故选：B12已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2B（1，2）C2，+）D（2，+）【考点】双曲线的简单性质【分析】若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个
17、交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率e2=，e2，故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13抛物线y=x2上的点到直线4x+3y8=0的距离的最小值是【考点】抛物线的简单性质【分析】先对y=x2求导得到与直线4x+3y8=0平行的切线的切点坐标，再由点到线的距离公式可得答案【解答】解：先对y=x2求导得y=2x令y=2x=易得x0=即切点P（，）利用点到直线
18、的距离公式得d=故答案为：14已知圆C过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4故圆心坐标为（4，）由此可求出它到双曲线中心的距离【解答】解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4故圆心坐标为（4，）它到中心（0，0）的距离为d=故答案为：15在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A（4，0）和C（4，0），顶点B在双曲线上，则=【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B
19、，利用正弦定理以及双曲线的定义化简，即可得到答案【解答】解：由题意可知双曲线的焦点是A，B，顶点B在双曲线上，由双曲线的定义可知|BC|AB|=2a=6，c=4，=故答案为：16已知点A（5，0），B（1，3），若圆x2+y2=r2（r0）上共有四个点M，N，P，Q，使得MAB、NAB、PAB、QAB的面积均为5，则r的取值范围是（5，+）【考点】直线与圆的位置关系【分析】先求得|AB|=5，再根据题意可得点M，N，P，Q到直线AB的距离为2，AB的方程为3x+4y+15=0，利用圆上有4个点到直线AB的距离为2时，r应满足的条件是圆心到直线AB的距离dr2，从而求得r的取值范围【解答】解：由
20、题意可得|AB|=5，根据MAB和NAB、PAB、QAB的面积均为5，可得点M，N，P，Q到直线AB的距离为2；由于AB的方程为=，即3x+4y+15=0，且圆上有四个点到直线AB的距离为2，所以圆心（0，0）到直线AB的距离r2，解得r5；所以r的取值范围是（5，+）故答案为：（5，+）三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知以点C（1，2）为圆心的圆与直线x+y1=0相切（1）求圆C的标准方程；（2）求过圆内一点P（2，）的最短弦所在直线的方程【考点】直线和圆的方程的应用；圆的标准方程【分析】（1）由点到直线的距离求出半径，从而得到圆的方程；（2）由垂径定理可得，过P
21、点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直，求出过P点的直径的斜率，进而求出过P点的最短弦所在直线的斜率，利用点斜式，可以得到过P点的最短弦所在直线的方程【解答】解：（1）圆的半径r=，所以圆的方程为（x1）2+（y+2）2=2（2）圆的圆心坐标为C（1，2），则过P点的直径所在直线的斜率为，由于过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直过P点的最短弦所在直线的斜率为2，过P点的最短弦所在直线的方程y+=2（x2），即4x2y13=018已知抛物线C：y2=2px（p0）过点A（1，2）（）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，
22、且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质【分析】（I）将（1，2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得【解答】解：（I）将（1，2）代入抛物线方程y2=2px，得4=2p，p=2抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=1（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=2x+t，由得y2+2y2t=0，直线l与抛物线有公共
23、点，=4+8t0，解得t又直线OA与L的距离d=，求得t=1tt=1符合题意的直线l存在，方程为2x+y1=019已知C与两平行直线xy=0及xy4=0都相切，且圆心C在直线x+y=0上，（）求C的方程；（）斜率为2的直线l与C相交于A，B两点，O为坐标原点且满足，求直线l的方程【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆的位置关系【分析】（）利用平行线之间的距离求出圆的直径，设出圆心坐标，利用圆心到直线的距离，求出圆心坐标，可得圆的方程（）利用（）的结论，说明直线l经过圆的圆心，然后利用两点式求出直线方程即可【解答】解：（）由题意知C的直径为两平行线 xy=0及xy4=0之间的距离解得，
24、由圆心C（a，a）到 xy=0的距离得a=1，检验得a=1C的方程为（x1）2+（y+1）2=2（）由（）知C过原点，因为，则l经过圆心，直线l的斜率为：2，圆的圆心坐标（1，1），所以直线l的方程：2xy3=0（注：其它解法请参照给分）20如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB=2CD=2BC，EAEB（）求证：ABDE；（）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（）线段EA上是否存在点F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系【分析】（）取
25、AB中点O，连接EO，DO利用等腰三角形的性质，可得EOAB，证明边形OBCD为正方形，可得ABOD，利用线面垂直的判定可得AB平面EOD，从而可得ABED；（）由平面ABE平面ABCD，且EOAB，可得EO平面ABCD，从而可得EOOD建立空间直角坐标系，确定平面ABE的一个法向量为，利用向量的夹角公式，可求直线EC与平面ABE所成的角；（）存在点F，且时，有EC平面FBD确定平面FBD的法向量，证明=0即可【解答】（）证明：取AB中点O，连接EO，DO因为EB=EA，所以EOAB 因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，ABBC，所以四边形OBCD为正方形，所以ABOD 因为E
26、OOD=O所以AB平面EOD 因为ED平面EOD所以ABED （）解：因为平面ABE平面ABCD，且 EOAB，平面ABE平面ABCD=AB所以EO平面ABCD，因为OD平面ABCD，所以EOOD由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 因为EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）所以，平面ABE的一个法向量为 设直线EC与平面ABE所成的角为，所以，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为 （）解：存在点F，且时，有EC平面FBD 证明如
27、下：由，所以设平面FBD的法向量为=（a，b，c），则有所以取a=1，得=（1，1，2） 因为=（1，1，1）（1，1，2）=0，且EC平面FBD，所以EC平面FBD即点F满足时，有EC平面FBD 21已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2（其中O为原点）求k的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程【分析】（1）由双曲线的右焦点与右顶点易知其标准方程中的c、a，进而求得b，则双曲线标准方程即得；（2）首先把直线方程与双曲线方程联立方程组，然后消y得x的方程，由于
28、直线与双曲线恒有两个不同的交点，则关于x的方程必为一元二次方程且判别式大于零，由此求出k的一个取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系用k的代数式表示出xA+xB，xAxB，进而把条件转化为k的不等式，又求出k的一个取值范围，最后求k的交集即可【解答】解：（1）设双曲线方程为（a0，b0）由已知得故双曲线C的方程为（2）将由直线l与双曲线交于不同的两点得即设A（xA，yA），B（xB，yB），则，而=于是由、得故k的取值范围为22已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过两点（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的左、右焦点分别是F、H，过点H的直线l：x=my+1与椭圆E交于M、N两点
29、，则FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）设椭圆E的方程为，由椭圆E经过A（2，0）、两点，知，由此能求出椭圆E的方程（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），设y10，y20，设FMN的内切圆的半径为R，则SFMN=4R，当SFMN最大时，R也最大，FMN的内切圆的面积也最大，由此能求出FMN的内切圆的面积的最大值及直线l的方程【解答】解：（1）设椭圆E的方程为，椭圆E经过A（2，0）、两点，a2=4，b2=3椭圆E的方程为+=1（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），设y
30、10，y20，如图，设FMN的内切圆的半径为R，则SFMN=（|MN|+|MF|+|NF|）R= （|MF|+|MH|）+（|NF|+|NH|）R=4R，当SFMN最大时，R也最大，FMN的内切圆的面积也最大，SFMN=|FH|y1|+|FH|y2|，|FH|=2c=2，SFMN=|y1|+|y2|=y1y2由，得（3m2+4）y2+6my9=0，则=（6m）2+49（3m2+4）0恒成立，设，则t1，且m2=t1，设，则，t1，f（t）0，函数f（t）在1，+）上是单调减函数，f（t）max=f（1）=3，即SFMN的最大值是34R3，R，即R的最大值是，FMN的内切圆的面积的最大值是，此时m=0，直线l的方程是x=12016年8月2日
