1、1.4 生活中的优化问题举例（1）生活中的优化问题举例 内容：生活中的优化问题应用:1.海报版面尺寸的设计2.圆柱形饮料罐的容积为定值时,所用材料最省问题 3.饮料瓶大小对饮料公司利润有影响 本课主要学习生活中的优化问题。以生活中的实际问题引入新课。本节课设计从易到难，由浅入深地发现身边的“数学”，特别是对采用一题多解，一题多变的变式教学，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。遵循“提出问题-分析问题-解决问题”的思维过程，注重引导学生，了解背景、思考推理、数学建模等活动。本课给出3个例题和变式，通过解决这些问题，培养学生数学建模的能力。采用例题与变式结合的方法，通过例1探讨如何设计海报的尺寸，
2、使空白面积最小；例2是饮料罐的容积为定值时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省；例3是饮料的利润最大问题通过这些问题的解决，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力.问题1:学校宣传海报比赛，要求版心面积128dm左右边距1dm上下边距2dm，请问你将如何设计？版心规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5问题2：下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.运用什么知识解决优化
3、问题一般地，若函数y=f(x)在a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则求f(x)的最值的步骤是：（1）求y=f(x)在a，b内的极值(极大值与极小值)；（2）将函数的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点，则这个极值一定是最值。yoax1x2x3x4bx例1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？x图3.4-1
4、分析：已知版心的面积，你会如何建立函数关系表示海报四周的面积呢？128:,xdmdmx解 设版心的高为则版心的宽为此时四周空白面积为 0,160 xs x当时，；你还有其他方法求这个最值吗？128()(4)(2)128S xxx51228,0 xxx2512()2S xx求导数,得2512()20S xx令1616xx 解得：，（舍）128128816x 于是宽为：16,0.xs x当时，因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。(0,16)x(16,)()S x()S x160极小值解法二：由解法(一)得512512()
5、282 28S xxxxx 2 32872512,16(0)xxxSx当且仅当2即时 取最小值8128此时y=16816dmdm答：使用版心宽为，长为时，四周空白面积最小。2.在实际应用题目中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.1.设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义。练习1.一条长为 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？则两个正方形面积和为2221)4()4(xlxssS)22(16122llxx解：设两段铁丝
6、的长度分别为x,l-x,其中0 x0它表示 f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r时，f(r)0 它表示 f(r)单调递减，即半径越大，利润越低 1.半径为cm 时，利润最小，这时(2)0f表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值。.半径为cm时，利润最大。?,)44.1(,:你有什么发现上观察图从函数的图象直接数工具们不用导我果如换一个角度.,3r;,cm3,03f,3r,利润才为正值时当好相等成本恰饮料的利润与饮料瓶的时即瓶子半径是时当易看出图象上容从?,rf,2,0r解释它的实际意义吗你能是减函数时当 ory23图1.4-4由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的
7、基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案解决优化问题的一般步骤：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数 学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的 判断，确定其答案。注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键。习题1.4 A组 2,5,6 必做题:1.已知:某商品生产成本与产量q的函数关系式为1004Cq,价格p与产量q的
8、函数关系式为1258pq,求产量 q 为何值时，利润 L 最大？1(25)(1004)8LpqCq qq解：利润21211008 qq 121,0,4LqL 令84q 求得0L 当时,q84,0L 当时,q84,84qL当产量 为 时，利润 最大选做题:21211008 qq 1(25)(1004)8LpqCq qq另解：利润2184124bqLa 当时，的值最大2.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b.hb600EDCBA解：由梯形面积公式
9、，得 S=21 (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC，DE=33 h,BC=bAD=332h+b,S=hbhhbh)33()2332(21CD=hh3230cos,AB=CD.l=h322+b由得 b=33hSh,代入,l=4 33333SShhhhhhb600EDCBAl=23hS=0,h=4 3S,当 h 4 3S 时，l 4 3S 时，l0.h=4 3S 时，l 取最小值，此时 b=S3324.3.A、B 两村距输电线（直线）分别为 1km 和 1.5km（如图），CD 长 3.km.现两村合用一台变压器供电.问变压器设在何处,输电线总长 AEBE 最小.分析:法一:这是一个几何最值问题,本题可用对称性技巧获得解决.法二:只要能把 AE+BE代数化,问题就易解决 A解 设 x 如图，并设输电线总长为)(xL.则有222()1(3)1.5,03.L xAEEBxxx 222222(3)1.5(3)1()0(3)1.5 1xxxxL xxx,222(3)1.5(3)1xxxx,2 1.25690.xx 解得1.2x 和6x (舍去).答：3.A、B 两村距输电线（直线）分别为 1km 和 1.5km（如图），CD 长 3.km.现两村合用一台变压器供电.问变压器设在何处,输电线总长 AEBE 最小.
