1、第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1.空间几何体的定义 如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.2.多面体、旋转体及其相关概念 多面体旋转体定义由若干个平面多边 形围成的几何体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体图形 多面体旋转体相关 概念面:围成多面体的各个多边形;棱:相邻两个面的公共边;顶点:棱与棱的公共点.轴:形成旋转体所绕的定直线【思考】多面体最少有几个面,几个顶点,几条棱?提示:多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱.3.棱柱的结构特征 定义 有两个面互相平
2、行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体 图示及 相关 概念 底面:两个互相平行的面 侧面:底面以外的其余各面 侧棱:相邻侧面的公共边 顶点:侧面与底面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分:三棱柱、四棱柱【思考】有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗?提示:不一定,因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”,如图所示.4.棱锥的结构特征 定义 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体 图示及 相关 概念 底面:多边形面 侧面:有公共顶点的各个三角形面 侧
3、棱:相邻侧面的公共边 顶点:各侧面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥【思考】有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗?提示:未必是棱锥.如图所示的几何体,满足各面都是三角形,但这个几何体不是棱锥,因为它不满足条件“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”.5.棱台的结构特征 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分 图示及 相关 概念 上底面:截面 下底面:原棱锥的底面 侧面:除上下底面以外的面 侧棱:相邻侧面的公共边 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 按由几棱锥截得分:三棱台、四棱台【思考】棱台的各侧棱是什么关系?各侧面是什么样的多边
4、形?两个底面是什么关系?提示:棱台的各侧棱延长后交于一点,各侧面是梯形,两个底面是相似的多边形.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)棱柱可以看作由平面图形平移得到.()(2)棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形.()(3)用一平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,一个是棱台.()(4)有两个面平行,且其余各面均为梯形的几何体一定是棱台.()提示:(1).棱柱可以看作由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体.(2).棱柱的侧面都是平行四边形,底面也有可能是平行四边形.(3).只有用一平行于底面的平面去截棱锥,得到两个几何体,才能一个是棱锥,一个是棱台.(4
5、).未必是棱台,因为它们的侧棱延长后不一定交于一点,如图,用一个平行于楔形几何体底面的平面去截楔形几何体,截面与底面之间的几何体虽有两个面平行,其余各面是梯形,但它不是棱台.2.下列几何体中,不属于多面体的是()A.三棱柱 B.四棱锥 C.长方体 D.球【解析】选D.利用多面体的定义:由平面多边形围成的几何体,很容易能判定出来.3.一个几何体的各个面均是三角形,则该几何体可能是()A.棱台 B.棱柱 C.棱锥 D.圆锥【解析】选C.棱台的侧面是梯形,棱柱的侧面是平行四边形,圆锥的侧面是曲面,只有棱锥的侧面是三角形,且底面也可以是三角形.类型一 棱柱的结构特征【典例】1.(2019惠州高一检测)
6、下列叙述中,错误的一项为()A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B.棱柱的各个侧面都是平行四边形 C.棱柱的两底面是全等的多边形 D.棱柱的面中,至少有两个面相互平行 2.判断下列四个多面体是否为棱柱?若是棱柱,如何用符号表示?【思维引】1.根据棱柱及其底面和侧面的定义、棱柱的结构特征逐项判断.2.利用棱柱定义逐个判断,若是棱柱根据底面多边形的边数用恰当的符号表示.【解析】1.选A.在A中,棱柱中两个互相平行的平面不 一定是棱柱的底面,例如,底面为正六边形的棱柱的相 对侧面互相平行,故A错误;在B中由棱柱的定义知棱柱 的各个侧面都是平行四边形,故B正确;在C中,由棱柱的 定义知棱柱的
7、两底面是互相平行且全等的多边形,故C 正确;在D中,棱柱的定义是,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,相邻的公共边互相平行,有这些面围成的几何体是棱柱,由此得到D正确.2.(1)是棱柱,可记为五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1.(2)不是棱柱,不满足棱柱的定义.(3)是棱柱,可记为三棱柱ABC-A1B1C1.(4)是棱柱,可记为四棱柱ABCD-A1B1C1D1.【内化悟】棱柱定义中的三个要点是什么?提示:(1)有两个平面(底面)互相平行.(2)其余各面都是平行四边形.(3)每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.【类题通】棱柱结构特征的辨析技巧(1)扣定义:判定一个几何体是否是棱柱的关键是
8、棱柱的定义.看“面”,即观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面都是四边形;看“线”,即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.(2)举反例:通过举反例,如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合,给予排除.【习练破】下列关于棱柱的说法中,错误的是()A.三棱柱的底面为三角形 B.一个棱柱至少有五个面 C.若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面全等 D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面,侧面为平行四边形【解析】选C.显然A正确;底面边数最少的棱柱是三棱柱,它有五个面,故B正确;底面是正方形的四棱柱,有一对侧面与底面垂直,另一对侧面不垂直于底面,此时侧面并不全等,所以C错误;D正确.【加练固】下列关于棱
9、柱的说法:(1)所有的面都是平行四边形.(2)每一个面都不会是三角形.(3)两底面平行,并且各侧棱也平行.(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是_.【解析】(1)错误,棱柱的底面不一定是平行四边形.(2)错误,棱柱的底面可以是三角形.(3)正确,由棱柱的定义易知.(4)正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱,所以说法正确的序号是(3)(4).答案:(3)(4)类型二 棱锥、棱台的结构特征【典例】1.下面图形所表示的几何体中,不是棱锥的为()2.下列几何体是棱台的是_(写出所有满足题意的序号).【思维引】1.看是否同时满足以下两点:(1)有一个面是多边形.(2)其余各面
10、都是有一个公共顶点的三角形.2.看是否同时满足以下两点:(1)是由棱锥截得的,(2)截面平行于底面.【解析】1.选A.选项A中的几何体不满足有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,所以不是棱锥;选项B,C,D中的几何体是棱锥.2.、都不是由棱锥截得的,不符合棱台的定义,故不满足题意;中的截面不平行于底面,不符合棱台的定义,故不满足题意;符合棱台的定义.答案:【内化悟】判断棱锥、棱台的结构特征主要从哪些方面考虑?提示:认识、判断棱锥、棱台的结构特征,主要从它的侧面、侧棱、底面、顶点等方面考虑.【类题通】判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法:结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关
11、于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法:棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形,此面即为底面 两个互相平行的面,即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于 一点【习练破】1.棱台不具有的性质是()A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱长都相等 D.侧棱延长后交于一点【解析】选C.棱台是由平行于棱锥的底面的平面截棱锥得到的,棱锥的侧棱长不一定相等,所以棱台的侧棱长也不一定相等.A,B,D选项都正确.2.如图所示,在三棱台ABC-ABC中,沿ABC截去三棱锥A-ABC,则剩余的部分是()A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体【解析】选B.如图所示,三棱台ABC-ABC中,沿
12、ABC截去三棱锥A-ABC,剩余部分是四棱锥A-BCCB.【加练固】下列关于棱锥、棱台的说法:(1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台.(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形.(3)棱锥的侧面只能是三角形.(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥,其中正确说法的序号是_.【解析】(1)错误,若平面不与棱锥底面平行,用这个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分不是棱台.(2)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形.(3)正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.(4)正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.(5)错误,如
13、图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.答案:(2)(3)(4)类型三 多面体的展开图问题 角度1 由展开图复原多面体【典例】如图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正方体后,有下列命题:世纪金榜导学号 点H与点C重合;点D与点M、点R重合;点B与点Q重合;点A与点S重合.其中正确命题的序号是_.(注:把你认为正确命题的序号都填上)【思维引】固定一个正方形(如FGPN)的位置,将其他正方形折起.先确定各正方形的位置,然后定顶点用什么字母表示.【解析】将其还原成正方体,如图.答案:【素养探】在与由展开图复原几何体有关的问题中,经常利用核心素养中的直观想象,通过研究空间几何体与展开图之间的
14、关系,培养学生空间想象思考问题的习惯,提高学生借助空间图形分析、推理、论证的能力.将本例的条件改为“若将此正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,并沿该正方体的一条棱将正方体剪开,外面朝上展平得到如图所示的平面图形”,试确定标“”的面的方位.【解析】将三个空白正方形分别标为1,2,3,如图所示,易知1处标下,2处标西,和3处应标南北,进一步根据“上北下南左西右东”可知,处标北.角度2 求最大值、最小值问题【典例】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线的长度.世纪金榜导学号【思维
15、引】爬行路线可以分三种情况,爬行所经过的平面展开放到同一平面内,根据两点之间线段最短求值,比较三种情况得到最短路线的长度.【解析】由长方体ABCD-A1B1C1D1的表面可有三种方法展开,表面展开后A与C1两点间的距离分别为 =3 ,如图1所示;=,如图2所示;=,如图3所示.三者比较得 为由A到 C1在长方体表面上的最短距离.2212322232126223 122 53 2【类题通】多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图:在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.(2)由展开图复原几何体:首先想象出复原后的几何体,再将展
16、开图中的面、点标注到该几何体上.(3)多面体表面上两点间的最短距离问题常常要归纳为求平面上两点间的最短距离问题.常见的解法是先把多面体的表面展开成平面图形,再用平面几何知识求有关线段的长度.【习练破】(1)如图甲所示为某几何体的展开图,沿图中虚线将展开图折起来,是哪一种几何体?试用文字描述并画出示意图.(2)需要多少个(1)中的几何体才能拼成一个棱长为 6 cm的正方体?请在(图乙)棱长为6 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称.【解析】(1)该几何体为有一条侧棱垂直于底面,且底面为正方形的四棱锥,其中垂直于底面的棱长为6 cm,底面正方形的边长为6 cm,如图甲所示
17、.(2)需要3个(1)中的几何体,如图乙所示,分别为四棱锥A1-CDD1C1,A1-ABCD,A1-BCC1B1(答案不惟一).【加练固】1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()【解析】选A.其展开图是沿盒子的棱剪开,无论从哪条棱剪开,剪开的相邻面在展开图中可以不相邻,但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面,展开后不能相邻.2.如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什么几何体?【解析】图中,有5个平行四边形,而且还有两个全等 的五边形,符合棱柱特点;图中,有5个三角形,且具有 共同的顶点,还有一个五边形,符合棱锥特点;图中,有3个梯形,且其腰的延长线交于一点,还有两个相似的 三角形,符合棱台的特点.把侧面展开图还原为原几何 体,如图所示:所以为五棱柱,为五棱锥,为三棱台.
