1、1均值不等式 A 级 基础巩固 1设 ta2b，sab21，则 t 与 s 的大小关系是()Ast Bst Cst Ds0，b0，则下列不等式中正确的是()Aabab22 Baba2b22 C.1ab2a2b2 D.1ab2ab2 解析：选 ABC 由均值不等式知 A、C 正确，由重要不等式知 B 正确，由a2b22ab 得，abab22，1ab2ab2，故选 A、B、C.4若 ab0，则下列不等式成立的是()Aabab2 ab Baab2 abb Caab2 b ab Da abab2 b 解析：选 B aaa2 ab2 ab bbb，因此只有 B 项正确 5.几何原本卷 2 的几何代数法(
2、以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点 F 在半圆 O上，点 C 在直径 AB 上，且 OFAB，设 ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为()2A.ab2 ab(a0，b0)Ba2b22 ab(a0，b0)C.2abab ab(a0，b0)D.ab2 a2b22(a0，b0)解析：选 D 由 ACa，BCb，可得圆 O 的半径 rab2，又 OCOBBCab2 bab2，则 FC2OC2OF2（ab）24（ab）24a2b22，再根据题图知 FOFC，即ab2 a2b
3、22，当且仅当 ab 时取等号故选 D.6已知 abc，则（ab）（bc）与ac2 的大小关系是_ 解析：abc，ab0，bc0，（ab）（bc）（ab）（bc）2ac2.答案：（ab）（bc）ac2 7某工厂第一年的产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，则这两年的平均增长率 x 与增长率的平均值ab2 的大小关系为_ 解析：用两种方法求出第三年的产量分别为 A(1a)(1b)，A(1x)2，则有(1x)2(1a)(1b)，1x（1a）（1b）1a1b21ab2，xab2.当且仅当 ab 时等号成立 答案：xab2 8已知函数 y4xax(x0，a0)在 x3 时取得最小值，
4、则 a_ 解析：y4xax24xax4 a(x0，a0)，当且仅当 4xax，即 x a2 时等号成立，此时 y 取得最小值 4 a.又由已知 x3 时，ymin4 a，a2 3，即 a36.3答案：36 9已知 a，b 为正实数，且 ab1.求证：1a1b4.证明：由题意 a，b 为正实数，则1a1baba abb 1baab1 2baab22baab4.当且仅当 ab12时“”成立 10已知 a，b，c 为正数，求证：bcaacabbabcc3.证明：左边baca1cbab1acbc1 baab caac cbbc 3.a，b，c 为正数，baab2(当且仅当 ab 时取“”)；caac2
5、(当且仅当 ac 时取“”)；cbbc2(当且仅当 bc 时取“”)从而baab caac cbbc 6(当且仅当 abc 时取“”)baab caac cbbc 33，即bcaacabbabcc3.B 级 综合运用 11下列不等式一定成立的是()Ax1x2 B.x22x22 2 C.x23x242 D23x4x2 解析：选 B A 项中当 x0 时，x1x02，A 错误 B 项中，x22x22 x22 2，B 正确 4而对于 C，当 x0 时，x23x24322，显然选项 C 不正确 D 项中，取 x1，23x4x2，D 错误 12(多选)设 a，bR，且 ab，ab2，则必有()Aab1
6、Bab1 C.a2b221 D.a2b221 解析：选 BD 因为 abab22，ab，所以 ab1，又 1（ab）24a2b22ab4a2b22，所以a2b221，所以 ab1a2b22.13设 a，b 为非零实数，给出不等式：a2b22ab；a2b22ab22；ab2 abab；abba2.其中恒成立的是_ 解析：由重要不等式 a2b22ab 可知正确；a2b222（a2b2）4（a2b2）（a2b2）4a2b22ab4（ab）24ab22，故正确；当 ab1 时，不等式的左边为ab2 1，右边为 abab12，可知不正确；令 a1，b1，可知不正确 答案：14已知 a，b，c 为不全相等
7、的正实数，求证：abc ab bc ca.证明：a0，b0，c0，ab2 ab，bc2 bc，ca2 ca，ab2 bc2 ca2 ab bc ca，即 abc ab bc ca.由于 a，b，c 不全相等，等号不成立，abc ab bc ca.C 级 拓展探究 515已知 abc3，且 a，b，c 都是正数(1)求证：1ab 1bc 1ca32；(2)是否存在实数 m，使得关于 x 的不等式x2mx2a2b2c2对所有满足题设条件的正实数 a，b，c 恒成立？如果存在，求出 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由 解：(1)证明：因为 abc3，且 a，b，c 都是正数，所以 1ab 1bc 1ca 16(ab)(bc)(ca)1ab 1bc 1ca163bcababbc bccacabc abcaacab 16(3222)32，当且仅当 abc1 时，取等号，所以 1ab 1bc 1ca32得证(2)因为 abc3，所以(abc)2a2b2c22ab2bc2ca3(a2b2c2)，因此 a2b2c23(当且仅当 abc1 时，取等号)，所以(a2b2c2)min3，由题意得x2mx23 恒成立，即得 x2mx10 恒成立，因此 m2402m2.故存在实数 m2，2使不等式成立
