1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.3三角函数的叠加及其应用学 习 目 标核 心 素 养1. 进一步熟练应用三角函数和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角恒等变换(重点、难点)2会利用辅助角公式解决三角函数的图象与性质问题(重点、难点)1.在利用三角函数公式进行三角恒等变换的过程中，培养学生数学运算素养2通过利用辅助角公式解决三角函数的图象和性质问题，培养学生逻辑推理素养.辅助角公式：一般地，当a，b不同时为零时，asin bcos (sin cos )，根据S引入辅助角，使得cos ，sin ，所以asin bcos sin()(a，b不同时为0)思考：1.对于asin bcos ，为什么提取
2、后就可以转化为sin()?提示：asin bcos ，令cos ，sin ，则asin bcos (sin cos cos sin )sin()2asin bcos 可以转化为cos()吗？提示：asin bcos ，令sin ，cos ，则asin bcos (cos cos sin sin )cos()1sin 20cos 10cos 20sin 10等于()ABCDD原式sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.2求值：cos 10sin 10_.2sin 40cos 10sin 1022sin 40.3函数ysin 2xcos 2x的周期为_ysin 2xcos 2
3、xsin，所以T.两角和与差公式的逆用【例1】(1)sincos_.(2)已知a(，1)，b(sin x，cos x)，xR，f(x)ab，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间(1)原式2.法一：(化正弦)原式222sin2sin.法二：(化余弦)原式222cos2cos.(2)解f(x)sin xcos x222sin，T2，值域2,2由2kx2k，得递增区间为，kZ.逆用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，一般是观察角、函数名、所求(或所化简)问题的整体形式中的差异，利用诱导公式把三角函数式中的角转化为能够应用公式的形式，或利用辅助角公式asin bcos sin()进行转化跟进训练
4、1(1)tan 20tan 40tan 20tan 40_.(2)计算cos sin 的值是()AB2C2D(1)(2)B(1)tan 60tan(2040)，tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)tan 20tan 40，原式tan 20tan 40tan 20tan 40.(2)cos sin 222sin2sin 2.利用辅助角公式解决三角函数的图象问题【例2】(1)函数f(x)sin 2xcos 2x()A关于点对称B关于点对称C关于直线x对称D关于直线x对称(2)将函数f(x)sin 2xcos 2x的图象向左平移t(t0)个单位后，得到函数g(x)的图象
5、，若g(x)g，则实数t的最小值为()ABCD(1)C(2)B(1)由题意得f(x)sin 2xcos 2x2sin，因为f1，选项A，D错，f2，选项B错误，C正确(2)由题意得，f(x)sin 2xcos 2x 2sin，则g(x)2sin，从而2sin2sin2sin(2x2t)2sin(2x2t)，又t0，所以当2t2t2k(kZ)时，即t(kZ)，实数tmin.(1)研究三角函数图象的对称性和平移变换时，都要把三角函数化为yAsin(x)的形式后解决问题(2)对于可化为f(x)Asin(x)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令xk(kZ)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横
6、坐标，只需令xk(kZ)，求x即可跟进训练2设函数f(x)cos xsin x，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在单调递减Df(x)cos xsin x2cos，A项，因为f(x)的周期为2k(kZ且k0)，所以f(x)的一个周期为2，A项正确B项，因为f(x)图象的对称轴为直线xk(kZ)，当k3时，直线x是其对称轴，B项正确C项，f(x)2cos，将x代入得到f2cos0，所以x是f(x)的一个零点，C项正确D项，因为f(x)2cos的递减区间为 (kZ)，递增区间为 (kZ)，所以是减区间，是增区间，D项错误
7、利用辅助角公式解决三角函数的性质问题探究问题1. 逆用两角和的正弦公式可以把cos sin 化简为什么？提示：cos sin sincos cossin sin.2. 逆用两角和的正弦公式可以把cos sin 化简为什么？提示：cos sin 222sin.3逆用两角和的正弦公式可以把acos bsin 化简为什么？提示：acos bsin cos sin ，令sin ，cos ，则cos sin sin()，所以acos bsin sin()【例3】已知函数f(x)sin xcos x(0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性思路点拨解(
8、1)f(x)sin xcos xsin，且T，2，于是f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ)即函数f(x)图象的对称轴方程为x(kZ)(2)令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递增区间为(kZ)注意到x，所以令k0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.1. 把例3中的函数换为ysin xcos x(0x2)，其最大值为_2y2sin，0x2，x，当x，即x时，ymax2.2已知函数f(x)sin 4xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2) 求f(x)的单调递减区间解(1)f(x)sin，f(x)的最小正周期T.(2)令2k4x2k(kZ)，得
9、x(kZ)f(x)的单调递减区间为(kZ)一般地，对于asin bcos 形式的代数式，可以提取，化为Asin(x)的形式公式asin bcos sin()(或asin bcos cos()称为辅助角公式利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值1公式的逆用：对于两角和与差的三角函数公式，要抓住其结构特征，在涉及相关题目时，要通过诱导公式等对其变换，构造逆用公式的形式，对三角函数式化简和求值2辅助角公式及应用：对于三角函数yasin bcos ，可以提取，化为yAsin(x)的形式，然后研究其周期，最值和单调性等性质1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)在辅助角公式中acos bsin s
10、in()，tan ()(2)函数ysin xacos x的最大值是1a()(3)函数ysin 2xcos 2x图象的对称中心是，kZ()提示(1)正确acos bsin ，令sin ，cos ，则cos sin sin()，所以tan .(2)错误ysin xacos xsin(x)，所以函数ysin xacos x的最大值是.(3)正确ysin 2xcos 2x2sin，令2xk，kZ，解得xk，kZ，所以函数ysin 2xcos 2x图象的对称中心是.kZ.答案(1)(2)(3)2sin 20cos 10cos 20sin 170等于()ABCDD原式sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30，故选D3若将函数ysin 2xcos 2x的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sinD函数ysin 2xcos 2x2sin的周期为，将函数y2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y2sin2sin，故选D4. 已知函数f(x)cos 2xsin 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的值域解(1)f(x)cos 2xsin 2xsin.所以f(x)的最小正周期为T.(2)由(1)可知f(x)sin，因为sin1,1，所以sin，即f(x)的值域为.- 10 - 版权所有高考资源网
