1、1从位移、速度、力到向量学 习 目 标核 心 素 养1.理解向量的有关概念及向量的几何表示(重点)2掌握共线向量、相等向量的概念(难点)3正确区分向量平行与直线平行(易混点)通过向量的有关概念的学习，培养数学抽象素养.1向量的概念数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等)思考：1.两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？提示：数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小2向量的表示方法(1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段以A为起点，B为终点的有向线段，记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作.(2)向量可以用有向
2、线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)箭头所指的方向表示向量的方向3零向量与单位向量(1)长度为0的向量称为零向量，记作0；(2)模等于1个单位长度的向量，叫作单位向量4向量的基本关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作ab.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作ab；规定零向量与任一向量共线(3)相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫做相反向量，a的相反向量记作a；规定零向量的相反向量是零向量5向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作a，b，则AOB(0180)叫作向量a与b的夹角；(2)夹
3、角的大小与向量共线、垂直的关系：0a与b同向；180a与b反向；90ab，规定：零向量与任一向量垂直思考：2.向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？提示：不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合3若ab，bc，那么一定有ac吗？提示：不一定因为当b0时，a，c可以是任意向量1下列说法错误的是()A若a0，则0B零向量是没有方向的C零向量与任意向量平行D零向量与任意向量垂直B零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行、垂直，所以B是错误的2如图所示，在等腰
4、梯形ABCD中，ADBC，则向量与的关系是()AB|CDB|与|表示等腰梯形两腰的长度，故相等3把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是_；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是_答案一条直线两个点4如图所示，以12方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中(1)写出与、相等的向量；(2)写出与模相等的向量；(3)求与夹角的度数解(1)，.(2)，.(3)因为，所以与夹角为EAF45.向量的有关概念【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由(1)ab的充要条件是|a|b|且ab；(2)若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；(3)在平行四边形ABCD中，
5、一定有；(4)若向量a与任一向量b平行，则a0.解(1)当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件，故(1)不正确(2)，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故(2)不正确(3)在平行四边形ABCD中，|，与平行且方向相同，故，(3)正确(4)零向量的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确1向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行2熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础1已知O是ABC的外心，则，是()A相等向量B平行向量 C模相等的向量D起点相同的向量 Cr.向量的表示【例2
6、】一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30方向行驶了2千米才到达B地(1)在如图所示的坐标系中画出，；(2)求B地相对于A地的位置向量解(1)向量，如图所示(2)由题意知，AD与BC平行且相等，四边形ABCD为平行四边形，B地相对于A地的位置向量为“北偏东60，6千米”准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可.2在如图的方格纸中，画出下列向量(每个小正方形的边长为1)(1
7、)|4，点A在点O正北方向；(2)|2，点B在点O东偏南45方向；(3)画一个以C为起点的向量c，使|c|，并说出c的终点的轨迹是什么？解(1)(2)(3)的图象如图所示(3)c的终点轨迹是以C为圆心，半径为的圆共线向量与夹角【例3】如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，(1)分别写出图中所示与，相等的向量；(2)分别求出与，与的夹角的大小解(1)；.(2)与的夹角的大小为60，与的夹角的大小为60.1例3中与模相等的向量有多少？解由图知与的模相等的向量有23个2例3中向量的相反向量有哪些？解与向量长度相等方向相反的向量有，.3例3中与向量共线的向量有哪些？解与向量共线的向量有，.4求出例3
8、中与的夹角的大小解与的夹角的大小为120.判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关.对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可.1向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以向量不能比较大小2用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段还是向量的表示，并不是说向量就是有向线段有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关3共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)向量的两个要素是大小与方向()(2)长度相等的向量是相等向量()(3)方向相同的向量是共线向量()答案(1)(2)(3)2设O是正方形ABCD的中心，则，中，模相等的向量是_答案与，与3已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与相等的向量；(2)与长度相等的向量；(3)与共线的向量解如图所示，(1)易知BCAD且BCAD，所以与相等的向量为.(2)由O是正方形ABCD对角线的交点，可知OBODOAOC，所以与长度相等的向量有，.(3)与共线的向量有，.
