1、2.2.3直线的一般式方程素养目标定方向 课程标准学法解读1掌握直线的一般式方程2理解关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)都表示直线3会进行直线方程的五种形式之间的转化1了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系(数学抽象)2能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化(逻辑推理)3能运用直线的一般式方程解决有关问题(数学运算)必备知识探新知 知识点1 直线的一般式方程关于x和y的二元一次方程都表示一条直线我们把关于x，y的二元一次方程_AxByC0_(其中A，B不同时为0)叫做直线的_一般式方程_，简称一般式思考1：平面直角坐标系中的每
2、一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？提示：都可以，原因如下：(1)若直线的斜率k存在直线可表示成ykxb，可转化为kx(1)yb0，这是关于x，y的二元一次方程(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成xa0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0知识点2 直线的五种形式的方程形式方程局限点斜式_yy0k(xx0)_不能表示斜率不存在的直线斜截式_ykxb_不能表示斜率不存在的直线两点式_x1x2，y1y2_截距式1不能表示_与坐标轴平行及过原点的直线_一般式_AxByC0(A，B不同时为0)_无思考2：当A0或B0时，方程AxByC0分别表示什么样的直线？
3、提示：(1)若A0，此时B0，方程化为y，表示与y轴垂直的一条直线(2)若B0，此时A0，方程化为x，表示与x轴垂直的一条直线知识点3 直线各种形式方程的互化关键能力攻重难 题型探究题型一直线的一般式方程典例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程(1)斜率是，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为2；(3)经过A(1,5)，B(2，1)两点；(4)在x轴、y轴上的截距分别是3，1分析先选择合适的形式将直线方程写出来，再化为一般式解析(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y3(x5)，化为一般式方程为xy350(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y4x2，化为一般式
4、方程为4xy20(3)由两点式方程可知，所求直线方程为，化为一般式方程为2xy30(4)由截距式方程可得，所求直线方程为1，化为一般式方程为x3y30规律方法直线的一般式方程的特征求直线方程时，要求将方程化为一般式方程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列【对点训练】(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式斜率是，且经过点A(8，6)的直线方程为_x2y40_；在x轴和y轴上的截距分别是和3的直线方程为_2xy30_；经过点P1(3，2)，P2(5，4)的直线方程为_xy10_(2)直线2xy20绕它与y轴的交点A按逆时
5、针方向旋转90所得的直线方程是(D)Ax2y40Bx2y40Cx2y40Dx2y40解析(2)直线2xy20与y轴的交点为A(0，2)，所求直线过点A且斜率为，所求直线的方程为y2x，即x2y40题型二含参数的一般式方程典例2(1)已知直线x3yn0在x轴上的截距为3，则实数n的值为(B)A3B3CD(2)设直线l的方程为axy2a0(aR)若直线l与直线l1：2xy20垂直时，求a的值；若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程解析(2)直线l与直线l1：2xy20垂直，斜率k12，直线l斜率为ka，由k1k1，解得al在两坐标轴上的截距相等，显然a0，当x0时，ya2，当y0时，x，则a2，解
6、得a1或a2，故直线l的方程为xy10或2xy0规律方法已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤【对点训练】若方程(m23m2)x(m2)y2m50表示直线(1)求实数m的范围；(2)若该直线的斜率k1，求实数m的值解析(1)由解得m2，若方程表示直线，则m23m2与m2不能同时为0，故m2(2)由1，解得m0题型三直线方程的综合应用角度1在镜面反射中的应用典例3一条光线从点A(2,4)射出，倾斜角为60，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为(C)Axy420Bxy240Cxy420Dxy240解析光线的直线方程为y4(x2)，即xy240，则与x轴交点为且倾斜角为120，则y，
7、即xy420，选C角度2由一般式方程判断两直线平行或垂直典例4(1)已知直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，求实数m的值；(2)已知直线l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20垂直，求实数a的值分析利用在一般式方程下，两直线平行或垂直的条件求解解析(1)由23m(m1)0，得m3或m2当m3时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2同理，当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，l1与l2不重合，l1l2，故m的值为2或3(2)由直线l1l2，得(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1故当a1或a1时，
8、直线l1l2规律方法一般式在直线平行、垂直中的应用直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，(1)平行：A2，B2，C2均不为0，l1l2；A2，B2中有一个为0，则根据A1，B1是否为0判断位置关系；若C2为0，则根据只需判断A1，B1与A2，B2的关系(2)垂直：l1l2A1A2B1B20【对点训练】已知点A(2,2)和直线l：3x4y200求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程解析(1)将与直线l平行的直线方程设为3x4yC10，又过点A(2,2)，所以3242C10，所以C114所求直线方程为3x4y140(2)将与l垂直的直线方程设为
9、4x3yC20，又过点A(2,2)，所以4232C20，所以C22，所以直线方程为4x3y20易错警示忽视特殊情形，转化不等价致错典例5已知两直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，当l1l2时，求m的值错解由13m(m2)0，得m1或3辨析因存在斜率的两直线平行的等价条件为斜率相等且截距不等，所以上述解法忽略检验截距是否相等正解由13m(m2)0得，m1或m3当m1时，l1：xy60，l2：3x3y20两直线显然不重合，即l1l2当m3时，l1：x3y60，l2：x3y60两直线重合故m的值为1误区警示(1)已知直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20，则A1B2A2B10l1l2或l1与l2重合所以，由A1B2A2B0求出参数值后，需检验两直线是否重合(2)在直线的一般式方程AxByC0中，A2B20；(3)直线AxByC0，当B0时，斜率为k
