1、第48课直线与平面、平面与平面的垂直【自主学习】第48课 直线与平面、平面与平面的垂直(本课时对应学生用书第121125页)自主学习回归教材1. (必修2P47练习3改编)已知平面平面，直线l平面，那么直线l与平面的位置关系为.【答案】平行或线在面内【解析】容易忽略线在面内的情况.2. (必修2P37习题6改编)如图，平面ABC平面ABD，ACB=90，CA=CB，ABD是正三角形，O为AB的中点，则图中直角三角形的个数为.(第2题)【答案】6【解析】由题可知ABC，ACO，BCO，OAD，OBD，OCD是直角三角形.3. (必修2P37习题7改编)如图，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，A
2、D平面ABC，AEBD于点E，AFCD于点F，则BD与EF所成的角的大小为.(第3题)【答案】90【解析】可证BD平面AEF.4. (必修2P47练习5改编)如图，已知直线AB，垂足为B，AC是平面的斜线，CD，CDAC，则图中互相垂直的平面有对.(第4题)【答案】3【解析】平面ABC，平面ABD，平面ABC平面ACD.1. 直线与平面垂直的定义如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面，记作a，直线a叫作平面的垂线，平面叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足.2. 直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面
3、.3. 直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行.4. (1)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.(2)二面角的平面角：以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.(3)二面角的平面角的大小范围：0，180.(4)常用作二面角的平面角的方法：定义法、垂面法.5. 两平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直.6. 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.7. 两个平面垂直的性质定理：如果
4、两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.【要点导学】要点导学各个击破直线与平面的垂直关系例1如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA平面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点.(1)求证：CDAE；(2)求证：PD平面ABE.(例1)【思维引导】(1)要证CDAE，可先证CD平面PAC，要证CD平面PAC，可先确定关系CDPA与CDAC；(2)要证PD平面ABE，可证PDAE与PDAB.【解答】(1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD.因为ACCD，PAAC=A，PA平面PAC，AC平面P
5、AC，所以CD平面PAC.而AE平面PAC，所以CDAE.(2)由PA=AB=BC，ABC=60，可得AC=PA.因为E是PC的中点，所以AEPC.由(1)知，AECD，且PCCD=C，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，所以AEPD.因为PA底面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB.又因为ABAD，PAAD=A，所以AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD.因为ABAE=A，AB平面ABE，AE平面ABE，所以PD平面ABE.【精要点评】在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，应考虑线与线、线与面所在的平面特征，以顺利实现证明需要的转化.其中证明线面垂直的
6、方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；若a，ab，则b；利用面面平行的性质定理，即，aa；利用面面垂直的性质定理：，=l，a，ala.【高频考点题组强化】1. (2015南通期末改编)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，M是棱CC1上的一点.求证：BCAM.(第1题)【解答】因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为BC平面ABC，所以CC1BC.因为ACBC，CC1AC=C，CC1，AC平面ACC1A1，所以BC平面ACC1A1.因为AM平面ACC1A1，所以BCAM.2. (2015苏州期末改编)如图(1)，在正方体ABCD-A1B1C1D1
7、中，求证：A1C平面C1BD.(第2题(1)【解答】如图(2)，连接AC，(第2题(2)则ACBD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1BD.又因为AA1AC=A，所以BD平面AA1C.因为A1C平面AA1C，所以A1CBD.同理可证A1CBC1.又因为BDBC1=B，BD，BC1平面C1BD，所以A1C平面C1BD.3. 如图(1)，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形，ABBC=1，O，F分别为CD，BC的中点，且EO平面ABCD，求证：AFEF.(第3题(1)【解答】如图(2)，连接OF，AO，(第3题(2)设AB=2a，则BC=2
8、a.因为四边形ABCD为矩形，所以AO=3a.同理，AF=a，OF=a.因为AF2+OF2=9a2=AO2，所以AFO为直角三角形，所以AFOF.因为EO平面ABCD，AF平面ABCD，所以EOAF.因为OFOE=O，OF，OE平面OEF，所以AF平面OEF.又EF平面OEF，所以AFEF.4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60，AB=2AD，PD底面ABCD，求证：PABD.(第4题)【解答】因为DAB=60，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，从而BD2+AD2=AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPD.又因为ADPD=D
9、，AD平面PAD，PD平面PAD，所以BD平面PAD.又PA平面PAD，故PABD.5. 如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且BCBE，ABC=90，求证：AF平面CBF.(第5题)【解答】因为ABC=90，所以BCAB.又因为BCBE，ABBE=B，AB平面ABEF，BE平面ABEF，所以BC平面ABEF.因为AF平面ABEF，所以BCAF.因为AB为圆O的直径，所以AFBF.又因为BFBC=B，BF平面CBF，BC平面CBF，所以AF平面CBF.平面与平面的垂直关系例2如图(1)，S为平面ABC外一点，SA平面ABC，平面SAB平面SBC.(1)求证：ABBC；(2)若AFSC于点
10、F，AESB于点E，求证：平面AEF平面SAC.(例2(1)【思维引导】由线面垂直，面面垂直的性质，推导线线垂直；而要证明面面垂直，一般从现有直线中寻找平面的垂线.【解答】(1)如图(2)，作AESB于点E.(例2(2)因为平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBC=SB，AE平面SAB，所以AE平面SBC.因为BC平面SBC，所以AEBC.因为SA平面ABC，BC平面ABC，所以SABC.因为AESA=A，AE平面SAB，SA平面SAB，所以BC平面SAB.又AB平面SAB，所以ABBC.(2)由(1)可知AE平面SBC，又SC平面SBC，所以AESC.又因为SCAF，AEAF=A，AE平面
11、AEF，AF平面AEF，所以SC平面AEF.又SC平面SAC，所以平面AEF平面SAC.【精要点评】(1)要证面面垂直，则需先证线面垂直；要证线面垂直，则需证线线垂直.(2)在有关面面垂直的问题中，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进而转化为线线垂直，因此熟练掌握“线面垂直”与“面面垂直”间的条件转化是解决这类问题的关键.变式1(2015苏北四市期末改编)如图，在三棱锥P-ABC中，已知平面PBC平面ABC.若ABBC，CPPB，求证：CPPA.(变式1)【解答】因为平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABC=BC，AB平面ABC，ABBC，所以AB平面PBC.因
12、为CP平面PBC，所以CPAB.又因为CPPB，且PBAB=B，AB，PB平面PAB，所以CP平面PAB.又因为PA平面PAB，所以CPPA.变式2(2015常州期末改编)如图(1)，四棱锥P-ABCD的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD平面 ABCD，PB=PD，PAPC，CDPC，O，M分别是BD，PC的中点，连接OM.求证：OM平面PCD.(变式2(1)【解答】如图(2)，连接AC，PO.(变式2(2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点.在PAC中，因为O，M分别是AC，PC的中点，所以OMPA.因为O是BD的中点，PB=PD，所以POBD. 又因为平面PBD平面AB
13、CD，平面PBD平面ABCD=BD，PO平面PBD，所以PO平面ABCD.因为CD平面ABCD，从而POCD.又因为CDPC，PCPO=P，PC平面PAC，PO平面PAC，所以CD平面PAC.因为OM平面PAC，所以CDOM.因为PAPC，OMPA，所以OMPC.又因为CD平面PCD，PC平面PCD，CDPC=C，所以OM平面PCD.线面垂直关系的探究问题例3如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DBAC，点M是棱BB1上一点.(1)求证：MDAC；(2)试确定点M的位置，使得平面DMC1平面CC1D1D.(例3)【思维引导】(1)通过证明AC平面BB1D1D，来证明ACD
14、M；(2)通过构造与平面CC1D1D垂直的直线，进行平移寻找所求的点的正确位置.【解答】(1)连接B1D1，因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1AC.又因为BDAC，且BDBB1=B，BD，BB1平面B1BDD1，所以AC平面B1BDD1.而MD平面B1BDD1，所以MDAC.(2)当M为棱BB1的中点时，可使得平面DMC1平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM.因为N是DC的中点，BD=BC，所以BNDC.又因为平面ABCD平面DCC1D1=DC，平面ABCD平面DCC1D1，所以BN平面DCC1D1.又因为O是NN1的中点，所
15、以BMON，且BM=ON，即四边形BMON是平行四边形，所以BNOM，所以OM平面CC1D1D.又因为OM平面DMC1，所以平面DMC1平面CC1D1D.【精要点评】探求符合要求的点或线的问题时，可以先假设存在，即增加条件后再证明；或通过先构造平行或垂直的特殊位置上的点或线，通过对其进行平移，来寻找正确的结果，然后再反过来证明.变式(2014苏州模拟)如图(1)，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点.(1)求证：PA平面MBD.(2)在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN平面PQB?若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在
16、，请说明理由.(变式(1)【解答】(1)如图(2)，连接AC交BD于点O，连接MO.(变式(2)由四边形ABCD为正方形，知O为AC的中点，又因为M为PC的中点，所以MOPA.因为MO平面MBD，PA平面MBD，所以PA平面MBD.(2)存在点N，当N为AB的中点时，平面PCN平面PQB.证明如下：因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，所以BQNC.因为Q为AD的中点，PAD为正三角形，所以PQAD.因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PQ平面PAD，所以PQ平面ABCD.又因为NC平面ABCD，所以PQNC.又因为BQPQ=Q，BQ，PQ平面PQB，所以NC平面P
17、QB.因为NC平面PCN，所以平面PCN平面PQB.1.(2015南京、盐城、徐州二模)已知，表示两个不重合的平面，m，n表示两条不同的直线，给出下列命题：若m，n，mn，则；若，m，n，则mn；若m，n，mn，则；若，m，n，则mn.其中为真命题的是.(填序号)【答案】2.在空间中，给出下列四个命题：过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线.其中正确的命题是.(填序号)【答案】【解析】易知正确.对于，过这两点的直线还可能
18、与平面相交；对于，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面.3.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD，ABAD，CD=2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点.(1)求证：PA底面ABCD；(2)求证：平面BEF平面PCD.(第3题)【解答】(1)因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PAAD，PA平面PAD，所以PA底面ABCD.(2)因为E为CD的中点，AB=CD，所以AB=DE，又因为ABDE，所以四边形ABED为平行四边形.因为ABAD，所以平行四边形ABED为矩形，所以DEAD.由(1)知PA底面ABCD，CD平面ABC
19、D，所以PACD.又ADAP=A，AD，AP平面PAD，所以CD平面PAD.因为PD平面PAD，所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF，又CDBE，BEEF=E，BE，EF平面BEF，所以CD平面BEF.又因为CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.4.(2014江苏卷)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PAAC， PA=6， BC=8， DF=5.(1)求证：直线PA平面DEF；(2)求证：平面BDE平面ABC.(第4题)【解答】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面
20、DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA=6，BC=8，所以DE=PA=3，EF=BC=4.又因为DF=5，所以DF2=DE2+EF2，所以DEF=90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEF=E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又因为DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.【融会贯通】融会贯通能力提升(2015江苏卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ACBC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1CBC1=E.(1)求证：DE平面AA1C1C；(2)求证：BC1AB1.【思维引导】【规范解
21、答】(1)由题意知E为B1C的中点，又D为AB1的中点，所以DEAC.2分又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.5分(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1=C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC. .9分因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC平面B1AC，B1C平面B1AC，ACB1C=C，所以BC1平面B1AC. .13分又因为AB1平面B1AC
22、，所以BC1AB1. .14分【精要点评】本题属于中档题，难度不大，以考查基础知识为主，如考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，考查线面平行的判定.解题过程中要注意问题的合理转化，规范表达很重要.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第9596页.【检测与评估】第48课直线与平面、平面与平面的垂直一、 填空题1在一个平面内，和这个平面的一条斜线垂直的直线有条.2已知四边形ABCD为梯形，ABCD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，DC”的(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个
23、)条件.3(2014辽宁卷)已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，下列说法中正确的是.(填序号)若m，n，则mn；若m，n，则mn；若m，mn，则n；若m，mn，则n.4已知两条不同的直线a，b与三个不重合的平面，那么能使的条件是.(填序号)，； =a，ba，b；a，a； a，a.5(2014盐城一调)已知三个不重合的平面，与两条不同的直线l，m满足，=m，=l，lm，有下列条件：m；l；.其中由上述条件可推出的结论有.(填序号)6(2014常州期末)给出下列四个命题：“直线a直线b”的必要不充分条件是“a平行于b所在的平面”；“直线l平面”的充要条件是“l垂直于平面内的无数条直线”；“平面
24、平面”是“内有无数条直线平行于平面”的充分不必要条件；“平面平面”的充分条件是“有一条与平行的直线l垂直于”.上述命题中，所有真命题为.(填序号)7(2015泰州期末)若，是两个相交平面，则下列命题中正确的是.(填序号)若直线m，则在平面内，一定不存在与直线m平行的直线；若直线m，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m垂直；若直线m，则在平面内，不一定存在与直线m垂直的直线；若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线.8如图，四棱锥V-ABCD的底面为矩形，侧面VBA底面ABCD，VB平面VAD，则平面VBC与平面VAC的位置关系为.(第8题)二、 解答题 9(2015扬州期末改编)如图
25、，在三棱锥P-ABC中，D为AB的中点.若PA=PB，且锐角三角形PCD所在平面与平面ABC垂直，求证： ABPC.(第9题)10(2015北京卷)如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB平面ABC，AC=BC，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证：VB平面MOC.(2)求证：平面MOC平面VAB.(第10题)11(2014南京、盐城二模)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点.(1)求证：BF平面A1EC.(2)求证：平面A1EC平面ACC1A1(第11题)三、 选做题 12如图，在四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E
26、，F分别是AB，PB的中点.(第12题)(1)求证：EFCD.(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论.【检测与评估答案】第48课直线与平面、平面与平面的垂直1 无数2 充分不必要3【解析】中m，n可以平行、相交或异面；中n或n；中直线n与平面的位置关系不确定；只有正确.4 【解析】由面面垂直的定义及判定定理可得.5【解析】由条件知，=m，l，lm，则根据面面垂直的性质定理有l，即成立；又l，根据面面垂直的判定定理有，即成立.6【解析】是既不充分也不必要条件；是充分不必要条件，即“直线l平面”可得“l垂直于平面内的无数条直线”，反之，不成立；正确.7【解析】对于，若两个平
27、面互相垂直，显然在平面内存在与直线m平行的直线，故不正确；对于，m，m一定与两个平面的交线垂直，所以在平面内，有无数条直线与m垂直，故正确；对于，若m与两个平面的交线平行或m为交线，显然存在，若m 与交线相交，设交点为A，在直线m上任取一点B(异于点A)，过点B向平面引垂线，垂足为C，则直线BC平面，在平面内作直线l垂直于AC，可以证明l平面ABC，则lm，故正确，不正确.所以真命题的序号为.8 垂直【解析】可考虑证明VA平面VBC.9 因为PA=PB，D为AB的中点，所以ABPD.如图，在锐角三角形PCD所在平面内过点P作POCD于点O.因为平面PCD平面ABC，平面PCD平面ABC=CD，
28、所以PO平面ABC.因为AB平面ABC，所以POAB.又POPD=P，PO，PD平面PCD，所以AB平面PCD.又PC平面PCD，所以ABPC.(第9题)10(1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB平面MOC，OM平面MOC，所以VB平面MOC.(2)因为AC=BC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，平面VAB平面ABC=AB，且OC平面ABC，OCAB，所以OC平面VAB.又因为OC平面MOC，所以平面MOC平面VAB. 11(1)连接AC1交A1C于点O，连接OE，OF.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以O
29、A1=OC.又因为F为AC的中点，所以OFAA1且OF=AA1因为E为BB1的中点，所以BEAA1且BE=AA1，所以BEOF且BE=OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BFOE.又BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF平面A1EC.(2)由(1)知BFOE.因为AB=CB，F为AC的中点，所以BFAC，所以OEAC.又因为AA1底面ABC，BF底面ABC，所以AA1BF.由BFOE，得OEAA1又因为AA1，AC平面ACC1A1，且AA1AC=A，所以OE平面ACC1A1因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A112 (1)因为底面ABCD为正方形，所以ADDC.又P
30、D平面ABCD，CD平面ABCD，所以PDCD.又ADPD=D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以CD平面PAD.又PA平面PAD，所以PACD.又因为E，F分别是AB，PB的中点，所以EFPA，所以EFCD.(2)如图，设AD的中点为G，BD的中点为O，连接OF，OG，PG，GB，GF.因为O，F，G分别是BD，PB，AD的中点，所以FOPD，GOAB.因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC，所以OFBC.又因为ABBC，所以GOBC.又GOFO=O，GO，FO平面GFO，所以BC平面GFO.又GF平面GFO，所以GFBC.设PD=DC=a，则PG=a，GB=a，所以PG=GB.又F为PB的中点，所以GFPB.又PBBC=B，PB，BC平面PCB，所以GF平面PCB.(第12题)
