1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.3.2空间向量运算的坐标表示素养目标定方向 课程标准学法解读1掌握空间向量的线性运算的坐标表示2掌握空间向量的数量积的坐标表示1会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题(数学运算)2掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直(逻辑推理、数学运算)3掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题(逻辑推理、数学运算)必备知识探新知 知识点1 空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法abab_(a1b1，a2b2，a3b3)_减法abab_(a1b1
2、，a2b2，a3b3)_数乘aa_(a1，a2，a3)_，R数量积abab_a1b1a2b2a3b3_思考1：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示有何联系？提示：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致；如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标知识点2 空间向量的平行、垂直及模、夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则有当b0时，ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30；|a|；cosa，b知识点3 空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点
3、，则P1P2|_思考2：已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？提示：OA|关键能力攻重难 题型探究题型一空间向量的坐标运算典例1已知在空间直角坐标系中，A(1，2,4)，B(2，3,0)，C(2，2，5)(1)求，2，；(2)若点M满足，求点M的坐标；(3)若p，q，求(pq)(pq)分析先由点的坐标求出各个向量的坐标，再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解解析(1)因为A(1，2,4)，B(2,3,0)，C(2，2，5)，所以(3,5，4)，(1,0,9)所以(4,5,5)又(4,5,5)，(3，5,4)，所以2(10,15，3)又(3,5，4)，(1,0，9)，所以303
4、633(2)由(1)知，(3,5，4)(1，0，9)，若设M(x，y，z)，则(x1，y2，z4)，于是解得故M(3)由(1)知，p(1,0,9)，q(4,5,5)(方法1)(pq)(pq)|p|2|q|2826616(方法2)pq(5,5,14)，pq(3，5,4)，所以(pq)(pq)15255616规律方法空间向量的坐标运算注意以下几点：(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键(3)运用公式可以简化运算：(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2【对点训练】在ABC中，A(2，5,3)
5、，(4,1,2)，(3，2,5)(1)求顶点B，C的坐标；(2)求；(3)若点P在AC上，且，求点P的坐标解析(1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以(x2，y5，z3)，(x1x，y1y，z1z)因为(4,1,2)，所以解得所以点B的坐标为(6，4,5)因为(3，2,5)，所以解得所以点C的坐标为(9，6,10)(2)因为(7,1，7)，(3，2,5)，所以2123558(3)设P(x2，y2，z2)，则(x22，y25，z23)，(9x2，6y2,10z2)，于是有(x22，y25，z23)(9x2，6y2,10z2)，所以解得故点P的坐标为题型二空间向量的平行与垂直典例2已
6、知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3，0,4)设a，b(1)若|c|3，c，求c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k分析(1)根据c，设c，则向量c的坐标可用表示，再利用|c|3求值；(2)把kab与ka2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解解析(1)(2，1,2)且c，设c(2，2)(R)|c|3|3，解得1c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0，即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100，解得k2或k规律方法向量平行与垂直问题主要
7、题型(1)平行与垂直的判断(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用解题时要注意：适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程；最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的【对点训练】已知a(1,1,2)，b(6,2m1,2)(1)若ab，分别求与m的值；(2)若|a|，且a与c(2，2，)垂直，求a解析(1)由ab，得(1,1,2)k(6,2m1,2)，解得，m3(2)|a|，且ac，化简，得解得1因此，a(0,1，2)题型三空间向量夹角及长度的计算角度1向量法求夹角典例3在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上
8、，且CGCD(1)求证：EFB1C；(2)求cos，解析(1)如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，(0,1,0)(1,1,1)(1,0，1)所以(1)0(1)0，所以，即EFB1C(2)因为(0,1,1)所以|又0(1)，|，所以cos，角度2向量法求模典例4如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别是AA1，CB1的中点(1)求BM，BN的长；(2)求BMN的面积分析建立空间直角坐标系，写出B，M，N等点的坐标，从而得出，的坐标然后利用模的公式求得BM，BN的长度对
9、于(2)，可利用夹角公式求得cosMBN，再求出sinMBN的值，然后套用面积公式计算解析以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)则B(0,1,0)，M(1,0,1)，N(1)(1，1,1)，|，|故BM的长为，BN的长为(2)SBMN|BM|BN|sinMBNcosMBNcos，sinMBN，故SBMN即BMN的面积为规律方法利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤【对点训练】已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：(1)线段MN的长度；(2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件解析(1)根据空间两点间的距离
10、公式得线段MN的长度|MN|2，所以线段MN的长度为2(2)因为点P(x，y，z)到M，N两点的距离相等，所以有下面等式成立：，化简得xy2z30，因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是xy2z30易错警示混淆两向量平行与两向量同向典例5已知向量a(1,2，1)，b(m，m23m6，n)，若向量a，b同向，求实数m，n的值错解由题意可知ab，所以，即解得或故m3，n3或m2，n2辨析“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件错解中错认为“同向”就是“平行”，从而导致错误正解由题意可知ab，所以，即解得或当m3，n3时，b(3，6,3)3a，向量a，b反向，不符合题意，舍去；当m2，n2时，b(2,4，2)2a，向量a，b同向，符合题意综上，m2，n2- 8 - 版权所有高考资源网
