1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.1.2空间向量的数量积运算素养目标定方向 课程标准学法解读掌握空间向量的数量积运算1理解空间两个向量夹角的定义(直观想象)2掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律，会求空间向量的数量积(数学运算)3能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题(数学运算)必备知识探新知 知识点1 空间向量的夹角1定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则_AOB_叫做向量a，b的夹角，记作a，b2范围：_0a，b_特别地，当a，b时，ab思考1：当a，b0和a，b时，向量a与b有什么关系？提示：当a，b0时，a与b同向；当a，b时，a与b反向知识点2 空间向量
2、的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab即ab_|a|b|cosa，b_规定：零向量与任何向量的数量积都为0性质ab_ab0_aaa2|a|2运算律(a)b(ab)，Rabba(交换律)a(bc)abac(分配律)思考2：向量的数量积运算是否满足结合律？提示：不满足结合律，(ab)ca(bc)是错误的思考3：对于向量a，b，若abk，能否写成a？提示：不能，向量没有除法知识点3 向量a的投影1如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c|a|
3、cosa，b，向量c称为向量a在向量b上的投影向量类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2)2如图(3)，向量a向平面投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A，B，得到，向量称为向量a在平面上的投影向量这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面所成的角关键能力攻重难 题型探究题型一求空间向量的数量积典例1已知三棱锥OABC的各个侧面都是等边三角形，且棱长为2，点M，N，P分别为AB，BC，CA的中点试求：(1)；(2)；(3)；(4)分析求出每个向量的模及它们的夹角，然后按照数量积的定义求解，必要时，对向量进行分解解析(1)|cos，|cosAOB22cos 602
4、(2)|cos，|cos 18012(1)2(3)()22cosBOC22cosBOA0(4)()(2)(222)1规律方法空间向量运算的方法与步骤方法：(1)利用定义，直接利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算(2)利用图形，计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算(3)利用向量分解，在几何体中进行向量的数量积运算时，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算步骤：首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式；利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；代入ab|a|b|cos
5、a，b求解【对点训练】(1)已知a3p2q，bpq，p和q是相互垂直的单位向量，则ab(A)A1B2C3D4(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求下列数量积：_1_；_0_解析(2)根据题意知，|1，|，135，所以1cos 1351；在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC，ABCC1，所以()0题型二利用数量积求夹角典例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求向量与的夹角的大小分析求两个向量的夹角，可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面角的大小；也可以用两个向量的数量积定义ab|a|b|cosa，b，求出cosa，b的值，然后确定a
6、，b的大小解析(方法1)因为，所以D1AC即为向量与的夹角因为D1AC为等边三角形，所以D1AC，即，所以向量与的夹角为(方法2)设正方体的棱长为1，则()()()()|20|200|21又|，|，所以cos，因为，0，所以，所以向量与的夹角为规律方法两个非零向量夹角求法的两个途径(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解(2)利用数量积求夹角：运用公式cosa，b进行求解【对点训练】(1)已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a，b所成的角是_60_(2)已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC
7、的中点，则向量与向量夹角的余弦值为_解析(1)，所以()|21，所以cos，所以异面直线a，b所成角是60(2)设a，b，c且|a|b|c|1，易知AOBBOCAOC，则abbcca因为()(ab)，cb，|，所以(ab)acbcabb2设与的夹角为，cos 所以向量与向量夹角的余弦值为题型三空间向量数量积的应用角度1利用数量积证明空间中的垂直关系典例3已知三棱锥OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOCM、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC分析要证OGBC，只要证0，关键是把、用一组基向量、表示出来解析如图所示，连接ON，设AOBBOCAOC，又设a，b，c，则|a
8、|b|c|，abbcac|a|2cos ，又()()(abc)cb，(abc)(cb)，(acabb2c2)0OGBC规律方法证明两直线垂直，求两直线夹角，其关键环节都是取两直线的方向向量，将其用一组容易求数量积的不共面向量线性表示，证明两直线垂直，即证两直线方向向量的数量积为0；求两直线夹角利用两向量的夹角公式求解，需注意两向量夹角范围是0，【对点训练】已知空间四边形OABC中，M、N、P、Q分别为BC、AC、OA、OB的中点，若ABOC，求证：PMQN证明如图，设a，b，c，又P、M分别为OA，BC的中点(bc)a(ba)c同理，(ac)b(ba)c|ba|2|c|2，又ABOC，即|ba
9、|c|0，即PMQN角度2利用数量积求距离典例4如图所示，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，沿着它的对角线AC将ACD折起，使AB与CD成60角，求此时B，D间的距离解析因为ACD90，所以0，同理可得0因为AB与CD成60角，所以，60或，120又，所以|2|2|2|22223211cos，所以当，60时，|24，此时B，D间的距离为2；当，120时，|22，此时B，D间的距离为规律方法用数量积求两点间距离的步骤(1)用向量表示此距离(2)用其他向量表示此向量(3)用公式aa|a|2，求|a|(4)|a|即为所求距离【对点训练】如图，已知一个60的二面角的棱上有两点A，B，AC
10、，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段又知AB4，AC6，BD8，求CD的长解析因为CAAB，BDAB，所以，120因为，且0，0，所以|2|2|2|22|2|2|22|cos，62428226868，所以|2，故CD的长为2易错警示忽视向量方向，造成错误角度典例5(2021山东潍坊检测)如图所示，在空间四边形ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M，N分别为AB，AD的中点，则_错解BDC是与的夹角，从而cos 60辨析向量的夹角定义中，必须把两向量平移至有公共起点，如图所示，AOB是与的夹角，而与的夹角为AOB的补角正解|cos，cos 120- 9 - 版权所有高考资源网
