1、第四章 平面向量、数系的扩充 与复数的引入 第一节 平面向量的概念及其线性运算 1.向量的有关概念(1)定义：既有_，又有_的量叫做向量.(2)表示方法：用字母表示：a,b,c；用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示：如 其中有向线段的长度表示向量的_，箭头所指的方向表示 向量的_.(3)模：向量的_叫做向量的模，记作|a|,|b|或 大小 方向 AB,CD,大小 方向 AB CD.，长度 2.特殊向量 名称 说明 零向量 长度等于_的向量，其方向是_，记作0单位向量 长度等于_的向量 平行向量 方向_的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线 相等向量 长度相等且方向_的向量 相反向
2、量 长度相等且方向_的向量 0 任意的 1个单位 相同或相反 相同 相反 3.向量的加法与减法(1)向量的加法：三角形法则：已知非零向量a,b,在平面内任取一点A，作 =a,=b,则向量 叫做a与b的和，记作_,即_=这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形 法则；平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为 邻边作OACB，则以O为起点的对角线 就是a与b的和，这种 作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则；ABBCACABBCAC,a+ba+bOC向量加法的几何意义：如图所示.(2)向量的减法：定义：定义a-b=a+_,即减去一个向量相当于加上这个 向量的_；几何意义：如图
3、，则(-b)相反向量 AB,AD,abDB_.ABAD4.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数 与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的 数乘，记作 a，它的长度与方向规定如下：|a|=|a|;当 0时，a与a的方向_；当 0时，a与a的方向 _；当 0时，a=0.相同 相反(2)运算律：设，是两个实数，则 _=()a；(+)a=_；(a+b)=_.5.共线向量定理 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数,使 _.(a)a+a a+bb=a判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向 量.()(2)两向量不能比较大小.(
4、)(3)若向量a,b共线，则向量a,b的方向相同或相反.()(4)|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关.()(5)()(6)共线向量定理b=a中，当a=0时，则实数 不唯一.()ABBCCDAD.【解析】(1)错误.向量是可以自由平移的，而有向线段是有端点的，端点不同，则有向线段不同.故向量与有向线段不同，但向量可用有向线段来表示.故不正确.(2)正确.由于向量是具有大小和方向的量，因此无法比较大小.故正确.(3)错误.当a,b中有一个为0时，其方向是不确定的.故不正确.(4)正确.当|a|=|b|时，说明a,b的模相等，与方向无关.故正确.(5)正确.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一
5、个向量起点指向最后一个向量终点的向量，故正确.(6)错误.当a=0且b=0时，则实数可为任意实数，故不唯一；当a=0且b0时，不存在.故不正确.答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)1.D是ABC的边AB上的中点，则向量 等于()【解析】选A.如图，CD 11ABCBABBCBA2211C BCBAD BCBA2211CD CB BD CBBABCBA.222.判断下列四个命题：若ab，则a=b；若|a|=|b|，则a=b；若|a|=|b|,则ab；若a=b，则|a|=|b|.其中正确的个数是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选A.中两向量共线，但这两向量的方向、模均不一定
6、相同，故不一定相等；中两向量的模相等，但方向不一定相同，故这两向量不一定相等；中两向量的模相等，但两向量不一定共线；中两向量相等，则模一定相等，故正确.3.若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的 是()【解析】选B.A EF OF OEB EFOFOEC EFOF OED EFOFOE EF EO OF OF OE.4.如图，正六边形ABCDEF中，()【解析】选D.BA CD EF AB BEC ADD CF0BA CD EF CDDE EF CE EF CF.5.设a,b是两个不共线的向量，且向量a+b与2a-b共线，则_.【解析】由题意知a+b=k(2a-b)，则有 k 答案
7、:1 2kk，12，1.212考向 1 平面向量的有关概念【典例1】(1)下列命题中：时间、速度、加速度都是向量；向量的模是一个正实数；所有的单位向量都相等；共线向量一定在同一直线上.其中真命题的个数是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)下列命题中，不正确的是()(A)向量 共线与向量 意义相同(B)向量 则向量 (C)若a=b,b=c，则a=c(D)若向量a,b满足|a|=|b|，则向量a与b的方向相同 AB,CDABCD，BADCAB CD(3)(2013宜宾模拟)给出下列命题：两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；若a与b同向，且|a|b|，则ab；,为实数，若 a=b，则
8、a与b共线.其中错误命题的序号为_.【思路点拨】(1)根据向量及其有关概念分析解题即可.(2)根据向量共线、相等的定义逐一分析即可.(3)根据共线向量的概念逐一分析判断可得结论.【规范解答】(1)选A.中时间不是向量，不正确；中向量的模可以为0，故不正确；中单位向量的模相等，但方向不一定相同，故不正确；中共线向量所在的直线可能平行，故不正确.综上选A.(2)选D.向量的共线与向量的平行是同义的，故A正确；根据相反向量的概念可得B正确；由向量相等的概念可知C正确；当两向量的模相等时，方向不一定相同.故D不正确.(3)不正确，虽然终点相同，但两个向量也可能不共线，如图，a,b即不共线；不正确，向量
9、不能比较大小；不正确，当=0时，a与b可为任意向量，不一定共线.综上都不正确.答案:【拓展提升】平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时不要把它与函数图象的平移混为一谈.(3)是与a同向的单位向量，是与a反向的单位向量.|aa|aa【变式训练】(1)设a是任一向量，e是单位向量，且ae，则下列表示形式中正确的是()(A)(B)a=|a|e(C)a=-|a|e (D)a=|a|e【解析】选D.对于A，当a=0时，没有意义，错误；对于B，C，D当a=0时，选项B，C，D都对；当a0时，由ae可知，a与e
10、同向或反向，选D.|aea|aa(2)给出下列命题：若A，B，C，D是不共线的四点，则 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；0a=0；a=b的充要条件是|a|=|b|且ab；若a与b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中正确命题的序号是_.AB DC【解析】正确；一方面，数乘向量的结果为向量，而不是实数;另一方面，实数与向量的数乘运算不能用符号“”，故不正确；当a=b时|a|=|b|且ab，反之不成立，故错误；当a,b不同向时不成立，故错误.答案:考向 2 平面向量的线性运算【典例2】(1)如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A AD BE CF
11、B BD CF DFC AD CE CFD BD BE FC0000(2)(2013泉州模拟)已知P，A，B，C是平面内四点，且 那么一定有()(3)已知：任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：PA PB PC AC，A PB 2CPB CP 2PBC AP 2PBD PB 2AP1EFAB DC.2【思路点拨】(1)利用平面向量的线性运算并结合图形求解.(2)将向量 分解为以点P为起点的两向量的差，然后化简即可.(3)结合图形，利用向量加法的法则可证得结论.【规范解答】(1)选A.(2)选D.由题意得 AB BC CA，02AD 2BE 2CFAD BE CF.，即00P
12、A PB PC PC PA，PB2PA 2AP.即AC(3)如图所示，E，F分别是AD与BC的中点，EA EDBF CF.AB BF FE EAEF AB BF EA.EF ED DC CF.2EF AB DCEA EDBF CFAB，又，同理由得，000DC1EFAB DC.2，【拓展提升】1.向量线性运算的一个关系(1)当向量a,b不共线时，a+b的方向与a,b的方向都不相同，且满足|a|-|b|a+b|b|，则a+b与a同向，且|a+b|=|a|-|b|;若|a|b|，则a+b与b同向，且|a+b|=|b|-|a|;若|a|=|b|,则a+b与a(b)同向，且|a+b|=0.2.两个结论
13、(1)向量的中线公式：若P为线段AB中点，则(2)向量加法的多边形法则:【提醒】当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用.向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了.1OPOAOB.2（）122334n 1n1nA AA AA AAAA A.【变式训练】(1)在ABC中，若点D满足 【解析】ABAC，cbBD 2DCAD，则（）2152AB33332112CD3333bccbbcbcA.BD 2DCAD AB 2 AC AD21213AD 2AC AB,ADACAB.3333 选，（），bc(2)若A，B，C，D是平面内任意四
14、点，给出下列式子：其中正确式子的序号为_.ABCDBCADACBDBCAD;ACBDDCAB.；【解析】答案:ABCDBCADABADBCCDCBCD2CBCBCDDB2CBDBCB,由得，从而，即故不正确；0ACBDBCADACADBCBDDCDCACBDDCABACABDCBDBCBC.由得，即，故正确；由得，即，故正确综上可得正确考向 3 共线向量定理及其应用【典例3】(1)已知向量a,b,c中任意两个都不共线，并且a+b与c共线，b+c与a共线，那么a+b+c等于()(A)a (B)b (C)c (D)0(2)设两个非零向量a与b不共线.若 a+b，2a+8b，3(a-b).求证：A，
15、B，D三点共线；试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.ABBCCD【思路点拨】(1)根据向量共线的充要条件得到向量的关系 式，比较系数可得结论.(2)先证明 共线，再说明它们有一个公共点,从而 得证；利用共线向量定理列出方程组求k.AB BD，【规范解答】(1)选D.a+b与c共线，a+b=1c.又b+c与a共线，b+c=2a.由得：b=1c-a.b+c=(1+1)c-a=2a，a+b+c=-c+c=0.11221 01,11，即，ka+b与a+kb共线，存在实数，使ka+b(a+kb)，k1.2ABBC 28CD 3,BD BC CD 28355AB,AB BD.ABBDBABD.abab
16、abababab，共线 又与有公共点，三点共线k,k1,【互动探究】本例(2)条件不变，结论若改为“若向量ka+b和向量a+kb反向共线，求k的值”，则结果如何？【解析】ka+b与a+kb反向共线，存在实数，使ka+b(a+kb)(0)，又0),于是a+b=ka+(2-1)b,整理得a+b=ka+(2k-k)b.由于a,b不共线，所以有 整理得22-1=0,所以=1或=又因为k0,所以0,故=1.答案:1 k,2 kk1,1.2【思考点评】准确理解向量共线、同向、反向的概念及其关系 两个向量共线，是指两个向量的方向相同或相反，也称它们为平行向量，因此共线包含两种情况：同向共线或反向共线.在求解
17、相关问题时要注意区分三者.一般地，若a=b，那么a与b共线；当0时，a与b同向；当0时，a与b反向.1.(2013泉州模拟)在平面上有A，B，C三点，设 若m与n的长度恰好相等，则有()(A)A，B，C三点必在一条直线上(B)ABC必为等腰三角形且B为顶角(C)ABC必为直角三角形且B为直角(D)ABC必为等腰直角三角形 AB BC，mAB BC，n【解析】选C.如图，以 为 邻边作平行四边形ABCD，则 由m，n的长度相等 可知，两对角线相等，因此平行四边形ABCD一定是矩形.故选C.AB BC ACAB BC，mnAB AD DB，BA BC，2.(2013莆田模拟)已知：如图，的夹角为
18、120，的夹角为30，若 (,R)，则 等于()OAOB1 OAOB，与OCOA与OCOAOB 32 31ABCD 2232【解析】选D.如图，以OC为对角 线作OMCN，则在OCN中，NOC=90，OCN=30.ONOB,NCOMOA,12.sin 30 3.(2013龙岩模拟)已知向量a,b不共线，c=ka+b(kR),d=a-b,如果cd,那么()(A)k=1且c与d同向(B)k=1且c与d反向(C)k=-1且c与d同向(D)k=-1且c与d反向【解析】选D.由cd得c=d,即ka+b=(a-b),k=-1,向量c与d共线反向.k,1,4.(2013大连模拟)设a,b都是非零向量，则下列
19、四个条件：a=-b;ab；a=2b;|a|=|b|.其中可作为使 成立的充分条件的有()(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个|abab【解析】选B.对于，当a=-b时，方向显然不同，故 不成立；对于，当ab时，a，b不一定同向，故等式不一定 成立；对于，当a=2b时，等式成立；对于，的方向不一定相同，故等式不一定成立.综上只有可 作为充分条件.|与abab22，abbabb|与abab5.(2013九江模拟)给出下列命题 向量 长度与向量 的长度相等；两个有共同起点且长度相等的向量，其终点必相同；向量 则A,B,C,D必在一条直线上；其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号).AB
20、BAABCD，【解析】真命题.假命题.起点相同长度相等的两向量方向不一定相同，故不正确.假命题.时，直线AB,CD可能平行也可能重合.综上可得，命题为真命题.答案:ABCD1.设a,b为不共线的非零向量，2a3b，8a2b，6a4b，那么()ABBCCD A ADBCAD|BC|B ADBCAD|BC|C ADBCAD|BC|D ADBD与同向，且与同向，且与反向，且【解析】选A.AD AB BC CD2382(64)ababab123BC823ADBC.230,23ADBCADBC.2ADBC.，又，与 同向，且abab2.已知O是三角形ABC的重心(三条中线的交点)，动点P满足 则点P一定为三角形ABC的()(A)AB边中线的中点(B)AB边中线的三等分点(非重心)(C)重心(D)AB边的中点 1 11OP(OAOB2OC),3 22【解析】选B.取AB的中点D，故点P为中线CD的三等分点(非重心).1ODOC2 则，1 11OP(OAOB2OC)3 221 1 OAOB2OC3 21 1(2OD2OC)3 21(OD2OC)3111(OC2OC)OC,322故
