1、第四章数列 4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示必备知识基础练1.(2022福建泉州高二期末)数列an中,若an=n16-2n,则a4=()A.12B.2C.22D.82.已知数列-1,14,-19,(-1)n1n2,它的第5项的值为()A.15B.-15C.125D.-1253.已知数列的通项公式an=3n+1,n为奇数,2n-2,n为偶数,则a2a3等于()A.70B.28C.20D.84.(2021河南八市重点高中高二联考)数列2,-5,8,-11,(-1)n-1(3n-1),(-1)n(3n+2)的第2n项为()A.6n-1B.-6n+1C.6n+2D.-6n-25.数列0,1
2、,0,-1,0,1,0,-1,的一个通项公式是()A.(-1)n+12B.cosn2C.cos(n+1)2D.cos(n+2)26.(多选题)已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3可以是()A.数列an中的第1项B.数列an中的第2项C.数列an中的第4项D.数列an中的第6项7.(多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,12,13,14,1n,B.sin7,sin27,sin37,sinn7,C.-1,-12,-14,-18,-12n-1,D.1,2,3,n,8.(多选题)数列an的通项公式为an=n+an,则()A.当a=2时,数列an的最小值是a1=a2
3、=3B.当a=-1时,数列an的最小值是a1=0C.当0a4时,a不是数列an中的项D.当a0成立的正整数n的最大值为.10.写出以下各数列的一个通项公式.(1)1,-12,14,-18,.(2)10,9,8,7,6,.(3)2,5,10,17,26,.(4)12,16,112,120,130,.(5)3,33,333,3 333,.11.已知数列an,an=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.(1)求a5.(2)150是不是该数列中的项?若是,是第几项?关键能力提升练12.下列图案关于星星的数量构成一个数列,该数列的一个通项公式是()A.an=n2-n+1B.an=n(n-1)2C.an
4、=n(n+1)2D.an=n(n+2)213.设an=1n+1n+1+1n+2+1n+3+1n2(nN*),则a2等于()A.14B.12+13C.12+13+14D.12+13+14+1514.(2021河北石家庄月考)数列12,-16,112,-120,130,的一个通项公式为()A.(-1)nn(n+1)B.(-1)n+1n(n+1)C.(-1)n(n+1)(n+2)D.(-1)n+1(n+1)(n+2)15.(2022广西南宁二中高二月考)若数列an的通项公式为an=-2n2+25n,则数列an的各项中最大项是()A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项16.(多选题)已知数列an的前
5、4项依次为2,0,2,0,则数列an的通项公式可以是()A.an=2,n为奇数,0,n为偶数B.an=1+(-1)n+1C.an=2sin n2D.an=21-(-1)n217.(2021辽宁锦州义县高二月考)已知数列an的通项公式为an=3n+k2n,若数列an为递减数列,则实数k的取值范围为.18.函数f(x)=x2-2x+n(nN*)的最小值记为an,设bn=f(an),则数列an,bn的通项公式分别是an=,bn=.19.已知数列an的通项公式为an=n2-21n2(nN*).(1)0和1是不是数列an中的项?如果是,那么是第几项?(2)数列an中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别
6、是第几项?学科素养创新练20.如图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,OAn,的长度构成数列an,则此数列的通项公式为()图1图2A.an=n,nN*B.an=n+1,nN*C.an=n,nN*D.an=n2,nN*21.(2021浙江金丽衢十二校高三联考)若数列an的通项公式为an=nn2+2020(nN*),则这个数列中的最大项是()A.第43项B.第44项C.第45项D.第46项22.在数列an中,an=n2n2+1.(1)求数列的第
7、7项.(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内.(3)区间13,23内有没有数列中的项?若有,有几项?参考答案4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示1.B由an=n16-2n可知16-2n0,即n8,所以a4=416-8=2.2.D第5项为(-1)5152=-125.3.C由an=3n+1,n为奇数,2n-2,n为偶数,得a2a3=210=20.4.B由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,即可表示为(-1)n-1,又首项为2,故数列的通项公式为an=(-1)n-1(3n-1),所以第2n项为a2n=(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=-6n+1.5.D当n=1时,C不成立;
8、当n=2时,B不成立;当n=4时,A不成立.故选D.6.BD令n2-8n+15=3,解得n=2或n=6,因此3是数列an中的第2项和第6项,故选BD.7.CD选项C,D既是无穷数列又是递增数列.8.ABCD当a=2时,an=n+2n,由f(x)=x+2x的单调性及a1=3,a2=3,可知A正确;当a=-1时,an=n-1n,显然是递增数列,故最小值为a1=0,B正确;令an=n+an=a,得n2-na+a=0,当0a4时,=a2-4aan,即n+1+an+1n+an,得an2+n,又n2+n2,所以a0,得n20213=67323,又因为nN*,所以正整数n的最大值为673.10.解(1)an
9、=(-1)n+112n-1;(2)an=11-n;(3)an=n2+1;(4)an=1n(n+1);(5)an=13(10n-1).11.解(1)由已知,得1-p+q=0,4-2p+q=-4,解得p=7,q=6,所以an=n2-7n+6,所以a5=52-75+6=-4.(2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.12.C由图形可知,当n=1时,有1个,排除BD;当n=3时,有6个,排除A.故选C.13.Can=1n+1n+1+1n+2+1n+3+1n2(nN*),a2=12+13+14.14.B数列12,-16,112,-120
10、,130,可以写成112,-123,134,-145,156,故这个数列的一个通项公式为an=(-1)n+1n(n+1).故选B.15.C因为an=-2n2+25n=-2n-2542+6258,且nN*,所以当n=6时,an的值最大,即最大项是第6项.16.ABCan=2,n为奇数,0,n为偶数,a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正确;an=1+(-1)n+1,a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确;an=2sinn2,a1=2sin2=2,a2=2sin22=0,a3=2sin32=2,a4=2sin42=0
11、,故C正确;an=21-(-1)n2,a1=21-(-1)12=2,a2=21-(-1)22=1,a3=21-(-1)32=2,a4=21-(-1)42=1,故D错误.故选ABC.17.(0,+)由数列an为递减数列可知an+1an对nN*恒成立,即3(n+1)+k2n+13n+k2n,因此3(n+1)+k2n+13n+k2n=3(n+1)+k-6n-2k2n+1=3-k-3n2n+13-3n,因为nN*,所以3-3n0(n=1时等号成立),即3-3n的最大值为0,所以k0.18.n-1n2-3n+3当x=1时,f(x)min=f(1)=1-2+n=n-1,即an=n-1;将x=n-1代入f(
12、x)得,bn=f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n2-3n+3.19.解(1)令an=0,得n2-21n=0,n=21或n=0(舍去),0是数列an中的第21项.令an=1,得n2-21n2=1,而该方程无正整数解,1不是数列an中的项.(2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,则有an=an+1,即n2-21n2=(n+1)2-21(n+1)2.解得n=10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.20.COA1=A1A2=A2A3=A7A8=1,OA2=2,OA3=3,OAn=n,a1=1,a2=2,a3=3,an=n,.21.C设f(x)=xx2+2020(x0),则f(x)=1x+2020x,又由x+2020x22020,当且仅当x=2020时,等号成立,则当x=2020时,x+2020x取得最小值,此时f(x)取得最大值,而44202045,a44=44442+2020a45=45452+2020,则数列中的最大项是第45项.22.(1)解a7=7272+1=4950.(2)证明an=n2n2+1=1-1n2+1,0an1,故数列的各项都在区间(0,1)内.(3)解令13n2n2+123,则12n22,nN*,故n=1,即在区间13,23内有且只有1项a1.
