1、第六章综合训练一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(x+1)8的展开式的各项系数和为()A.256B.257C.254D.2552.(2022湖南湘潭模拟)如图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别是个位、十位、百位、,上面一粒珠(简称上珠)代表5,下面一粒珠(简称下珠)代表1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠,且往上拨2粒下珠,则算盘可表示的数的个数为()A.9B.18C.27D.363.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的不同的选法种数是()A.18B.24C.
2、30D.364.已知(1+ax)6=1+12x+bx2+a6x6,则实数b的值为()A.15B.20C.40D.605.(2020全国高考)x+y2x(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()A.5B.10C.15D.206.(2022山东济南月考)(x+2y)5(x-2y)7的展开式中x9y3的系数为()A.-160B.-80C.160D.807.如图所示,要给四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为()A.320B.160C.96D.608.某学校实行新课程改革,即除语文、数学、外语三科为必考科目外,还要在物理、化学、
3、生物、历史、地理、思想政治六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业,按照该大学上一年高考招生选考科目要求,物理、化学必选,为该生安排课表(上午四节、下午四节,每门课每天至少一节),已知该生某天最后两节为自习课,且数学不排下午第一节,语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则该生该天课表有()A.444种B.1 776种C.1 440种D.1 560种二、选择题(本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)9.某学生想在物理、化学、生物、思想政治、历史、地理、信息技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是()A.若任意选择三门课程,选法
4、种数为A73B.若物理和化学至少选一门,选法种数为C21C52C.若物理和历史不能同时选,选法种数为C73C22C51D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法种数为C21C52C5110.(2022江苏常州期末)如图,用4种不同的颜色,对四边形中的四个区域进行着色,要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色,则不同的着色方法数可以表示为()A.A43A21B.A42A42C.A42(A21)2D.C41A32+C42(A22)211.已知(ax2+1x)n(a0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是()A.展开式中奇数项的
5、二项式系数和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含x15的项的系数为4512.(2022安徽亳州期末)已知(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+a2 021x2 021,下列命题中,正确的是()A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 021B.展开式中所有奇次项系数的和为-32021+12C.展开式中所有偶次项系数的和为1-320212D.a12+a222+a323+a202122021=-1三、填空题(本题共4小题)13.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不同的红包,每人最多抢一个红包,且红包全被抢光,则甲、乙两人都抢到红包的情况有种
6、.14.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴某大型展览会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有种.15.二项式(1+2x)4的展开式的各项系数的和为.16.(2022浙江绍兴模拟)已知(x-2)(x+m)5=a6x6+a5x5+a1x+a0,m为常数,若a5=-7,则m=,a6+a5+a1=.四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(2022上海虹口期末)已知(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn(n为正整数).(1)若a2=15a0-13a1,求n的值;(2)若n=2 022,A=a0+a2+a4+a2 022,B=a1+a
7、3+a5+a2 021,求A+B和A2-B2的值(结果用指数幂的形式表示).18.某医院有内科医生8名、外科医生6名,现选派4名参加医疗队.(1)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法?(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?19.在3x123xn的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.(1)求展开式的第四项;(2)求展开式的常数项;(3)求展开式中各项的系数和.20.有7本不同的书:(1)全部分给6个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?(2)全部分给5个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?21.(2022北京昌平期末)有7个人分成两排就座,第一排3人,第二排4人.(1)
8、共有多少种不同的坐法?(2)如果甲和乙都在第二排,共有多少种不同的坐法?(3)如果甲和乙不能坐在每排的两端,共有多少种不同的坐法?22.在(2x-3y)10的展开式中,求:(1)各项的二项式系数的和;(2)分别求奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和;(3)各项系数之和;(4)分别求奇数项系数的和与偶数项系数的和.第六章综合训练1.A令x=1,则(1+1)8=28=256,即(x+1)8的展开式的各项系数的和为256.故选A.2.B根据算盘的运算法则以及题干中描述的操作,从个、十、百上珠中选1粒往下拨,则有C31种,下珠往上拨分两种情况,全部来自个、十、百,即C31种,或者来自个、十、
9、百中的两个,即C32种,故算盘表示的数的个数为C31(C31+C32)=18.故选B.3.C由于选出的3名学生男女生都有,所以可分成两类:第1类,3人中是1男2女,共有C41C32=43=12(种)不同的选法;第2类,3人中是2男1女,共有C42C31=63=18(种)不同的选法.所以男女生都有的不同的选法种数是12+18=30.4.D(1+ax)6的展开式的通项为Tr+1=C6rarxr,令r=1,则C61a=12,解得a=2,则b=C6222=60.5.C因为(x+y)5的通项公式为C5kx5-kyk(k=0,1,2,3,4,5),所以当k=1时,y2xC51x4y=5x3y3,当k=3时
10、,xC53x2y3=10x3y3,所以x3y3的系数为10+5=15.6.D二项式可以化为(x+2y)(x-2y)5(x-2y)2=(x2-4xy+4y2)(x2-4y2)5,则二项式的展开式中含x9y3的项为-4xyC51(x2)4(-4y2)1=80x9y3,所以x9y3的系数为80,故选D.7.A根据分步乘法计数原理,区域有5种颜色可供选择,区域有4种颜色可供选择,区域和区域只要不选择区域的颜色即可,故各有4种颜色可供选择,所以不同涂色方法有5444=320(种).8.B物理、化学、生物、历史、地理、思想政治六选三,且物理、化学必选,所以只需在生物、历史、地理、思想政治中四选一,有C41
11、=4(种).对语文、外语排课进行分类,第1类,语文、外语有一科在下午第一节,则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节,剩下的四科可全排列,有C21C41A44=192(种);第2类,语文、外语都不在下午第一节,则下午第一节可在除语文、数学、外语三科的另三科中选择,有C31=3(种),语文和外语可都安排在上午,即上午第一、三节,上午第一、四节,上午第二、四节,有3A22=6(种),也可一科在上午任一节,一科在下午第二节,有C41A22=8(种),其他三科可以全排列,有C31(6+8)A33=252(种).综上,共有4(192+252)=1776(种).故选B.9.ABD若任意选择三门课程,选法种
12、数为C73,故A错误;若物理和化学至少选一门,选法种数为C21C52+C22C51,故B错误;若物理和历史不能同时选,选法种数为C73C22C51,故C正确;若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法种数为C21C52+C22C51C51,故D错误.故选ABD.10.ACD选项A:表示先着色中间两格和下面一格.从4种颜色中取3种,有A43种方法,上面一格,从与中间两格不同的颜色中取出一个,有A21种方法,故共有A43A21=48种不同方法,正确;选项B:A42A42=144,方法总数不对,错误;选项C:表示先对中间两格涂颜色.从4种颜色中取2种,共有A42种方法,上下两格都是从与中间
13、两格不同的颜色中取出一个,各有A21种方法,故共有A42(A21)2=48种不同方法,正确;选项D:表示两种情况:上下两格颜色相同,中间两格从3个剩下的颜色中取2种,共有C41A32种不同方法;上下两格颜色不同,中间两格从2个剩下的颜色中取2种,共有C42A22A22种不同方法.综合可知方法总数为C41A32+C42(A22)2=48种不同方法,正确.故选ACD.11.BCD由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等,可知n=10.又因为展开式的各项系数之和为1024,即当x=1时,(a+1)10=1024,所以a=1.所以二项式为(x2+1x)10=(x2+x-12)10.二项式系数和
14、为210=1024,则奇数项的二项式系数和为121024=512,故A错误;由n=10可知展开式共有11项,故第6项的二项式系数最大,因为x2与x-12的系数均为1,则该二项展开式的二项式系数与相应各项的系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确;若展开式中存在常数项,由通项Tk+1=C10kx2(10-k)x-12k可得2(10-k)-12k=0,解得k=8,故C正确;由通项Tk+1=C10kx2(10-k)x-12k可得2(10-k)-12k=15,解得k=2,所以系数为C102=45,故D正确.故选BCD.12.ABD由二项式系数的性质可得:展开式中所有项的二项式系数的和为22021,故A
15、正确;令x=1,则(1-2)2021=a0+a1+a2021=-1,令x=-1,则(1+2)2021=a0-a1+a2-a2021=32021,+整理可得a0+a2+a2020=32021-12,所以展开式中所有偶次项的系数和为32021-12,故C错误;-整理可得a1+a3+a2021=-32021+12,所以展开式中所有奇次项的系数和为-32021+12,故B正确;令x=0,则a0=1,再令x=12,则1-2122021=a0+a12+a222+a202122021=0,所以a12+a222+a202122021=-a0=-1,故D正确.故选ABD.13.72第1步,甲、乙抢到红包,有A4
16、2=43=12(种),第2步,其余三人抢剩下的两个红包,有A32=32=6(种),所以甲、乙两人都抢到红包的情况有126=72(种).14.90先分组C52C32C11A22,再把三组分配到三个不同的场馆,得共有不同的分配方案C52C32C11A22A33=90(种).15.81令x=1,则二项式的展开式的各项的系数和为(1+2)4=81.16.-1-2由已知可得a5为x5的系数,则展开式中含x5的项为xC51x4m-2C50x5=(5m-2)x5,所以5m-2=-7,解得m=-1,令x=0,则a0=-2(-1)5=2,令x=1,则a0+a1+a6=(1-2)(1-1)5=0,所以a6+a5+
17、a1=-2.17.解(1)令x=0,则a0=1,二项式的展开式中含x项的系数为a1=Cn1(-3)1=-3n,二项式的展开式中含x2项的系数为a2=Cn2(-3)2=9n(n-1)2,则由已知可得9n(n-1)2=151-13(-3n),即9n2-87n-30=0,解得n=10或n=-13(舍去),故n的值为10.(2)若n=2022,则原式为(1-3x)2022=a0+a1x+a2x2+a2022x2022,令x=1,则a0+a1+a2+a2022=(1-3)2022=22022,令x=-1,则a0-a1+a2-+a2022=1-3(-1)2022=42022=24044,+可得A=2202
18、1+24043,-可得B=22021-24043,所以A+B=22022,A2-B2=(A+B)(A-B)=2202224044=26066.18.解(1)不考虑甲、乙两人,从所有14名医生中选派4名共有C144=1001(种);甲、乙两人都没被选派共有C124=495(种).故甲、乙两人至少有一人参加,有1001-495=506(种).(2)此时4名医生的组成可分为三类:第1类,1名内科医生、3名外科医生,共有C81C63=160(种);第2类,2名内科医生、2名外科医生,共有C82C62=420(种);第3类,3名内科医生、1名外科医生,共有C83C61=336(种).故队中至少有一名内科
19、医生和一名外科医生,有160+420+336=916(种)选法.19.解通项为Tk+1=(-12)kCnkxn-2k3.由已知,(-12)0Cn0,12Cn1,122Cn2成等差数列,得212Cn1=1+14Cn2,解得n=8,故Tk+1=(-12)kC8kx8-2k3.(1)令k=3,得T4=(-12)3C83x23=-7x23.(2)令8-2k=0,得k=4,故T5=358.(3)令x=1,得各项的系数和为128=1256.20.解(1)根据题意,将7本书分给6个人,且每人至少1本,则必须是其中1个人2本,其他人每人1本,则分两步:第1步,将7本书,分为6组,其中1组2本,其他组每组1本,
20、有C72=21(种)分组方法;第2步,将分好的6组对应6人,将6组进行全排列即可,有A66=720(种)方法.一共有21720=15120(种)不同的分法.(2)分两类:第1类,1人得3本,其余4人各得一本,方法数为C73A55=4200;第2类,2人各得2本,其余3人各得1本,方法数为12C72C52A55=12600.所以所求分法种数为4200+12600=16800.21.解(1)7个人分成两排就座,第一排3人,第二排4人,共有A77=5040种.(2)从除甲乙之外的5人中选3人排在第一排,再排第二排,故有A53A44=1440种.(3)第一类,甲乙同一排,则只能排在第二排,故有A53A
21、22A22=240种;第二类,甲乙不在同一排,故有2(A52A21A33)=480种.故共有240+480=720种.22.解(1)各项的二项式系数的和为C100+C101+C102+C1010=210=1024.(2)奇数项的二项式系数的和为C100+C102+C1010=29=512;偶数项的二项式系数的和为C101+C103+C109=29=512.(3)设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+a10y10(*),各项系数之和即为a0+a1+a2+a10,令(*)中x=y=1,得各项系数之和为(2-3)10=(-1)10=1.(4)奇数项系数的和为a0+a2+a4+a10,偶数项系数的和为a1+a3+a5+a9.由(3)知a0+a1+a2+a10=1.令(*)中x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+a10=510.+,得2(a0+a2+a10)=1+510,故奇数项系数的和为1+5102;-,得2(a1+a3+a9)=1-510,故偶数项系数的和为1-5102.
