1、6.3.1 二项式定理第六章课标要求1.能用计数原理证明二项式定理.2.理解二项式定理及二项展开式的特征,能记住二项式定理和二项展开式的通项.3.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式,运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数.内容索引0102基础落实必备知识全过关重难探究能力素养全提升03学以致用随堂检测全达标基础落实必备知识全过关知识点1二项式定理(a+b)n=.1.这个公式叫做二项式定理.2.二项展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,二项展开式共有项.3.二项式系数:各项的系数(k=0,1,2,n)叫做二项式系数.二项式系数不一定等于对应项的系数n+1 名师点睛理解二项
2、式定理的注意事项(1)二项式定理中的字母a,b是不能交换的,即(a+b)n与(b+a)n的展开式是有区别的,二者的展开式中的项的排列顺序是不同的,不能混淆.(2)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的a,b,该等式都成立.(3)二项式定理中a和b中间用加号连接,若出现减号,“-”归属后边的字母或数,仍可用二项式定理展开.过关自诊1.判断正误.(正确的画,错误的画)(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.()(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.()(3)(a-b)n与(a+b)n的二项展开式的二项式系数相同.()2.二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别?提示 二项式系数
3、与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.知识点2二项展开式的通项(a+b)n展开式中的叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即通项为展开式的第项:.书写此公式时要注意a,b的先后顺序及其幂次k+1 名师点睛二项展开式的通项形式上的特点(1)它表示二项展开式的第k+1项,该项的二项式系数是.(2)字母b的次数和组合数的上标相同.(3)a与b的次数之和为n.过关自诊1.判断正误.(正确的画,错误的画)2.二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式的第 k+1项相同吗
4、?重难探究能力素养全提升探究点一二项式定理的正用、逆用变式探究答案 44 规律方法1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.变式训练1化简:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.探究点二利用二项式定理求待定项及系数【例2】(2022上海普陀期末)已知()n的二项展开式中,
5、第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为83.(1)求n的值;(2)求展开式中x3项的系数及含x3项的二项式系数.规律方法求二项展开式中的特定项的常见题型及解法(1)求含xk的项(或xpyq的项)在通项中令字母的指数为给定的值(2)求常数项在通项中令字母的指数为0(3)求有理项在通项中令字母的指数为整数变式训练2求的展开式中x3的系数及含x3的项的二项式系数.探究点三利用二项式定理解决整除和余数问题【例3】试判断7777-1能否被19整除.规律方法用二项式定理解决an+b整除(或余数)问题时,一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1rm)的形式,利用二项展开式求解.变式训练3(1
6、)设aZ,且0a13,若512 015+a能被13整除,则a等于()A.0B.1C.11D.12(2)230-3除以7所得的余数为.答案(1)B(2)5 又余数不能为负数(需转化为正数),230-3除以7所得的余数为5.本节要点归纳1.知识清单:(1)二项展开式的展开过程;(2)二项式定理的正用与逆用;(3)二项展开式的通项的应用.2.方法归纳:转化与化归.3.常见误区:二项式系数与系数的区别,an-kbk是展开式的第k+1项.学以致用随堂检测全达标1.(a+b)2n的展开式的项数是()A.2nB.2n+1C.2n-1D.2(n+1)答案 B解析 易知二项式(a+b)2n的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为2n+1.答案 A3.二项式的展开式中有理项共有项.答案 4 4.代数式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化简为.答案 x4 5.已知m,nN*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.解由题设知m+n=19,又m,nN*,1m18.
