1、培优课等比数列习题课第五章内容索引0102重难探究能力素养全提升学以致用随堂检测全达标课标要求1.进一步理解等比数列的定义、通项公式及前n项和;2.理解等比数列的性质、等比数列前n项和的性质的应用;3.掌握数列求和的常用方法错位相减法.重难探究能力素养全提升探究点一等比数列的基本运算【例1】已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.规律方法等比数列运算的求解策略等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有
2、关公式并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.变式训练1已知Sn为等比数列an的前n项和,Sn=93,an=48,公比q=2,则项数n=.答案 5探究点二错位相减法求和【例2】已知数列an的前n项和Sn=-n2+2kn(kN+),且Sn的最大值为4.(1)确定常数k的值,并求数列an的通项公式an;解(1)因为Sn=-(n-k)2+k2(kN+),所以当n=k时,Sn取得最大值k2.依题意得k2=4,又kN+,所以k=2.从而Sn=-n2+4n.当n2时,an=Sn-S
3、n-1=(-n2+4n)-(n-1)2+4(n-1)=5-2n.又a1=S1=3也适合上式,所以an=5-2n(nN+).规律方法错位相减法求和的技巧对于形如Cn=anbn(其中an为等差数列,bn为等比数列)的数列求和均可用错位相减法.运用此法时,一定要明确谁与谁对应以及项数、角标等问题,该方法虽不难理解,但对运算能力要求较高,并且最后要注意检验,简单的操作方法是赋特殊值法.变式训练2 探究点三构造等比数列求通项公式解(1)由an+1=2an+1,可得an+1+1=2(an+1),数列an+1是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,an+1=(a1+1)2n-1=2n,即an=2n-1.规
4、律方法构造新数列的技巧有些数列本身不是等差、等比数列,但是通过适当的变形,可以构造出等差、等比数列.常见的构造方法有:(1)取倒数法;(2)配常数法;(3)取对数法;(4)配函数法等.变式训练3 素养培优规律方法1.首先根据等差数列的性质求出a3,a4,然后再求出数列的公差d,最后根据等差数列的通项公式即可求出数列an的通项.2.首先设数列cn=2nbn,利用题中条件求出数列cn的通项,根据cn=2nbn即可求出数列bn的通项,最后根据数列bn的通项公式求和即可.学以致用随堂检测全达标A.2B.4C.6D.8答案 D 2.已知等比数列an的各项都为正数,且当n3时,a4a2n-4=102n,则
5、数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,2n-1lg an,的前n项和Sn等于()A.n2nB.(n-1)2n-1-1C.(n-1)2n+1D.2n+13.设等比数列an的前n项和为Sn,且a5=S5,则S2 022=.答案 0解析 根据数列前n项和的定义知S5=a1+a2+a3+a4+a5=a5,故a1+a2+a3+a4=0,即a1(1+q+q2+q3)=a1(1+q)(1+q2)=0,从而1+q=0,q=-1,所以这个等比数列的相邻两项的和都是0,所以S2 022=0.整理得an+2n=4(an-1+2n-1),数列an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,an+2n=44n-1,an=4n-2n.
