1、2.1 函数及其表示 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 2.1 函数及其表示双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1函数的概念及表示函数定义 给定两个_A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中_一个数x，在集合B中都存在_确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数函数记法 记作_或_ 非空数集任何唯一f：AByf(x)，xA函数的定义域 在函数的定义中x叫作自变量，_叫作函数的定义域 函数的值域 集合_叫作函数的值域 函数的三要素 _、_和_ 函数的表示法 _、_和_ x的取值范围Af(x)|xA定义域值域对应法则解析法图像法列表法 思考感悟1任何一个函
2、数都可以用解析法表示吗？提示：不一定如某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示2分段函数 如果函数yf(x)，xA，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着_的对应关系，则称这样的函数为分段函数 3映射的定义(1)两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而 且 对 于 A 中 的 每 一 个 元 素 x，B 中 总 有_的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：AB.A中的元素x称为_，B中的对应元素y称为x的_，记作f：xy.不同唯一原像像(2)一一映射 一一映射是一种特殊的映射，它满足：A中每一个元素在B中都有_的像与之对应；A中的不同元素的
3、像也_；B中的每一个元素_ 唯一不同都有原像思考感悟 2函数是映射吗？提示：由函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射，是从非空数集到非空数集的一一映射1(2011年南阳联考)设集合Mx|0 x2，Ny|0y2，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()课前热身 A BCD答案：C答案：D2下列各组函数是同一函数的是()Ay|x|x 与 y1By|x1|与 yx1，x11x，x1Cy|x|x1|与 y2x1Dyx3xx21与 yx3若 D(x)0 x为有理数1 x为无理数，则 D(D(x)()A0 B1C.12D任意实答案：A 4(2010年高考广东卷)函数f(x)lg(x2
4、)的定义域是_ 答案：(2，)5(教材改编题)给出下面四种对应关系：AN，BZ，f：xy3x1，xA，yB；AN，BN，f：xy|x1|，xA，yB；Ax|x为高一(2)班的同学，Bx|x为身高，f：每个同学对应自己的身高；AR，BR，f：xy1x|x|，xA，yB.是映射的是_答案：考点探究挑战高考 考点突破 映射与函数的概念 1判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有像”和“且像唯一”，即可以是“一对一”或者“多对一”2f：AB形成函数时，A即函数的定义域，但B不一定是值域如果B中的元素都有原像，则B才是值域，即函数就是从定义域到值域的映射给出下列四个命题：f(x)x3 2x是函数
5、；函数 y2x(xN)的图像是一条直线；f(x)x2x 与 g(x)x 是同一函数；例1已知A1,2，Ba，b，则对应xA，f：xy(ba)x2ab是从集合A到集合B的函数，其中正确的有()A1个 B2个C3个D4个【思路点拨】根据映射与函数的概念逐条判断【解析】由x302x0 x3x2，无解，知自变量 x的取值为空集，所以 f(x)x3 2x不是函数，故错因为在 y2x(xN)中定义域为 N，所以其图像为一群孤立的点，故错函数 f(x)x2x 的定义域为xR|x0，g(x)x的定义域为 R，两者定义域不同，故不是同一函数，错ba，y(ba)x2(ba)b(ba)(x2)bb，对任意xA，即1
6、x2，在f作用下都有 x20，yb，同样，有y(ba)x(ba)a(ba)(x1)a，对任意xA，均有x10，ya，yB，故是函数【答案】A【名师点评】从集合A到集合B的函数必须满足：(1)集合A中的元素在集合B中都有与之对应的元素；(2)集合B中的元素可以有剩余；(3)对应关系可以是“多对一”，也可以是“一对一”，但绝不是“一对多”求函数值 理解对应关系的实质是解答此类问题的关键(1)关于对应关系f，它是函数的本质特征，它好比是计算机中的某个“程序”，当f()中括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值(2)f(a)(a为定义域中的一个值)是值域内的一个值，是常量，f(
7、x)表示自变量x的函数，表示的是变量（2010 年高考陕西卷)已知函数 f(x)2x1，x1，x2ax，x1，若 f(f(0)4a，则实数 a 等于()A.12B.45C2 D9例2【思路点拨】先分清对应关系，再代入求值【解析】f(x)2x1，x1x2ax，x1，且 01，f(0)2012，f(0)21，ff(0)222a4a.a2.【答案】C【名师点评】(1)求f(g(x)类型的函数值时，遵循先内后外的原则；(2)对于分段函数的求值问题，依据条件准确地找出利用哪一段求解，不确定时要分类讨论变式训练1 用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)min2x，x2,10 x(x0)
8、，则f(x)的最大值为()A4B5 C6D7 解析：选 C.法一：函数 f(x)2x0 x2x22x410 xx4，由于函数在区间0,2上单调递增，在区间(2,4上单调递增，在点x2处两段的函数值相等，故函数在区间0,4上单调递增，函数在区间(4，)上单调递减，又在点x4处两段上的函数值相等，故x4是函数的最大值点，函数的最大值是f(4)6.故选C.法二：画出y2x，yx2，y10 x的图像，如图，根据函数f(x)min2x，x2,10 x的意义，函数f(x)的图像是由上面三个函数图像位于最下方的图像组成的，观察图像可知，当0 x2时，f(x)2x，当2x4时，f(x)x2，当x4时，f(x)
9、10 x，f(x)的最大值在x4时取得，最大值为6，故选C.求函数的解析式 求函数表达式的主要方法有：代入法、换元法、待定系数法和消元法等如果是求复合函数的解析式可用代入法；已知复合函数的解析式可用换元法求原来函数的解析式，特殊情况下可利用代入法和凑项法解决；如果已知函数的解析式的类型，可采用待定系数法等(1)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，求 f(x)的解析式；(2)已知 f(x1)x2 x，求 f(x)；(3)已知 f(x)满足 2f(x)f(1x)3x，求 f(x)例3【思路点拨】(1)由题设 f(x)为一次函数，故可先设出 f(x)的表达式，用待定系
10、数法求解；(2)已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；(3)已知条件中含 x、1x，可用解方程组法求解【解】(1)设 f(x)axb(a0)，则 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即 ax5ab2x17 不论 x 为何值都成立a2，b5a17，解得a2，b7.f(x)2x7.(2)法一：设 t x1，则 x(t1)2(t1)代入原式有 f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.f(x)x21(x1)法二：x2 x(x)22 x11(x1)21，f(x1)(x1)21(x11)，即 f(x)x21(x1)(3)2f(x)f(1x)3x，2f(1x)
11、f(x)3x.由得 f(1x)3x2f(x)，代入解得f(x)2x1x(x0)【失误点评】(1)设一次函数f(x)的解析式，易忽视一次项系数不为0的条件(2)易忽视x的取值范围 变式训练2 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0 x1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度利润比上年有所增加，
12、问投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)依题意，本年度每辆摩托车的成本为1x(万元)，而出厂价为1.2(10.75x)(万元)，销售量为1000(10.6x)(辆)故 利 润 y 1.2(1 0.75x)(1 x)1000(10.6x)，整理得y60 x220 x200(0 x1)(2)要保证本年度利润比上一年有所增加，则 y(1.21)10000，即60 x220 x0，解得 0 x13，适合 0 x1，故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例 x 的取值范围是 0 x13.方法感悟 方法技巧1若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同，则这两个函数为同一函数(如课前热身2
13、)2函数有三种表示方法列表法、图像法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法(如例3)3分段函数的特点是在定义域的不同范围内函数的解析式是不相同的，也就是说函数值的变化规律是不相同的因此研究分段函数问题时，要在各分段定义域内分别讨论针对近几年的高考，分段函数问题要引起足够的重视(如例2)失误防范1研究函数必须遵循“定义域优先”原则 2判断对应是否为函数，即看A、B是否为“非空数集”和对“任意”x有“唯一”y与之
14、对应 3判断两个函数是否同一，紧扣函数三要素是解题关键，只有定义域，对应法则相同的函数才是同一函数，与表达形式和所用字母无关 4求函数解析式一定要注明定义域，求实际问题中函数的定义域时，除了使解析式有意义，还要考虑实际问题对函数自变量的制约考情分析 考向瞭望把脉高考 函数及其表示是高考的重要板块之一，表示函数的解析法、图像法、分段函数以及函数与其他知识的综合问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查解析法、图像法、分段函数的应用及对函数概念的理解 主观题考查较为全面，在考查函数概念、表示的基础上，又注重考查函数方程、分类讨论、数形结合等思想方法预测201
15、2年高考仍将以函数的概念、解析法、图像法、分段函数的应用为主要考点，重点考查数形结合、分类讨论思想及逻辑推理能力真题透析 例1(2010 年高考江西卷)给出下列三个命题：函数 y12ln1cosx1cosx与 ylntanx2是同一函数；若函数 yf(x)与 yg(x)的图像关于直线 yx对称，则函数 yf(2x)与 y12g(x)的图像也关于直线 yx 对称；若奇函数f(x)对定义域内任意x都有f(x)f(2x)，则f(x)为周期函数其中真命题是()A BCD【解析】对于，易求得函数 y12ln1cosx1cosx的定义域为x|x2k，kZ，函数 ylntanx2的定义域为(2k，2k)(k
16、Z)，两函数的定义域不同，故它们不可能是同一函数，错误；对于，若 yf(x)与 yg(x)的图像关于直线 yx 对称，则 f1(x)g(x)，由 yf(2x)得 2xf1(y)，所以 yf(2x)的反函数为 y12f1(x)，故正确；对于，f(x)为奇函数f(x)f(x)，又f(x)f(2x)，所以f(2x)f(x)，即f(2x)f(x)，于是有f(4x)f(2x)f(x)，所以f(x)为周期函数，4是其中的一个周期，正确故选C.【答案】C【名师点评】1.本题易失误的是：(1)忽视函数的定义域，误判是同一函数；(2)对函数的对称性、平移、伸缩理解不透彻，认为是错误的；(3)不能把函数的周期性和
17、奇偶性结合使用 2研究函数问题，一般要借助图像和性质作为解题的切入点，同时还应注意“定义域优先”的解题原则 名师预测 1函数 f(x)1|x|x2(2x2)的图像为()解析：选 B.由 f(x)1 0 x21x 2x0，可知选 B.2集合 Ax|0 x2，Bx|0 x1，下列表示从 A 到 B 的函数的是()Af：xy13xBf：xy2xCf：xy12xDf：xyx解析：选 A.根据定义，只有 f：xy13x可表示从 A 到 B 的函数3已知函数 f(x)x3x02xx0，则 ff(2)的值为()A1 B.14C2 D4解析：选C.20，f(2)2310，ff(2)f(1)212.4若函数f(x)ax2bx2，且f(1)0，f(3)0，则f(1)_.解析：由 f(1)0，f(3)0 得ab209a3b20，解得 a23，b83，f(x)23x283x2，f(1)23832163.答案：163本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
