1、新20版练B1人教A版数学5.5.2简单的三角恒等变换第五章 三角函数5.5 三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换第1课时简单的三角恒等变换(1)考点1半角公式的理解和简单应用1.(2019山东青岛四校高一下期中考试)已知sin 2=13,则cos2-4=()。A.-13B.-23C.13D.23答案：D解析：cos2-4=1+cos2-22=1+sin22=23。2.(2019安徽芜湖高一上期末考试)已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725,则它的底角的余弦值为()。A.34B.35C.12D.45答案：B解析：设等腰三角形的顶角为,底角为,则cos =725。又=2-2,所以cos =c
2、os2-2=sin 2=1-7252=35,故选B。3.(2019西安一中单元检测)cos =725,02,则sin 2为()。A.45B.35C.25D.15答案：B解析：0,2,sin 2=1-cos2=1-7252=925=35。4.(2019浙江诸暨中学高一段考)若(,2),则1-cos1+cos=。答案：-tan 2解析：(,2),sin 0,1-cos1+cos=1-cos2(1+cos)2=-sin1+cos=-tan 2。考点2积化和差公式的理解和简单应用5.(2019浙江金华一中高一期中考试)已知cos2-cos2=m,那么sin(+)sin(-)=()。A.-m2B.m2C
3、.-mD.m答案：C解析：方法一:sin(+)sin(-)=-12(cos 2-cos 2)=-12(2cos2-1-2cos2+1)=cos2-cos2=-m,故选C。方法二:sin(+)sin(-)=(sin cos +cos sin )(sin cos -cos sin )=sin2cos2-cos2sin2=(1-cos2)cos2-cos2(1-cos2)=cos2-cos2=-m,故选C。6.(2019银川一中模块测试)给出下列四个关系式:sin sin =12cos(+)-cos(-);sin cos =12sin(+)+sin(-);cos cos =-12cos(+)-cos
4、(-);cos sin =12sin(+)-sin(-)。其中不正确的个数是()。A.1B.2C.3D.4答案：B解析：不正确,正确。7.(2019广州调研)已知sin+6sin-6=1120,求tan 的值。答案：sin+6sin-6=1120,-12cos+6+-6-cos+6-+6=1120,即-12cos2-12=1120,cos 2=-35。又cos 2=1-tan21+tan2,1-tan21+tan2=-35,tan =2。考点3和差化积公式的理解和简单应用8.(2019河南林州一中高二上开学考试)在ABC中,已知acos A+bcos B=ccos C,则ABC是()。A.等腰
5、三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案：B解析：由正弦定理,可得sin Acos A+sin Bcos B=sin Ccos C,即sin 2A+sin 2B=sin 2C,由和差化积公式,可得2sin(A+B)cos(A-B)=2sin Ccos C,即cos(A-B)=-cos(A+B),即cos(A-B)+cos(A+B)=0,所以cos Acos B=0,所以A=90或B=90,故选B。9.(2019西北工大附中单元测评)下列四个关系式中正确的个数为。(1)sin 5+sin 3=2sin 8cos 2;(2)cos 3-cos 5=-2sin 4sin ;(3)si
6、n 3-sin 5=-12cos 4cos ;(4)sin 5+cos 3=2sin 4cos 。答案：0解析：(1)错误,右边应是2sin 4cos 。(2)错误,右边应是2sin 4sin 。(3)错误,右边应是-2cos 4sin 。(4)错误,左边为异名三角函数,应先用诱导公式化同名三角函数后再化积,即sin 5+cos 3=sin 5+sin2-3=2sin+4cos4-4。10.(2019哈尔滨模拟)在ABC中,C=60,则sin A+sin B等于()。A.2sin A+B2B.2cos A-B2C.3sin A-B2D.3cos A-B2答案：D解析：sin A+sin B=2
7、sin A+B2cos A-B2。又C=60,A+B=120,sin A+sin B=2sin 60cos A-B2=3cos A-B2。11.(2019上海浦东区调考)求值:sin 75-sin 15。答案：sin 75-sin 15=2cos 75+152sin 75-152=2cos 45sin 30=22212=22。考点4半角公式、和积互化公式的灵活应用问题12.(2019南昌检测)若cos2sin-4=-22,则sin +cos 的值为()。A.-72B.-12C.12D.72答案：C解析：cos 2=cos2-sin2=(cos -sin )(cos +sin )=2cos+4(
8、cos +sin )=2sin4-(cos +sin ),则cos2sin-4=-2(cos +sin )=-22,则sin +cos =12。13.(2019遵义调考)若sin =35,523,则tan 2+cos 2的值为()。A.3+1010B.3-1010C.3+31010D.3-31010答案：B解析：因为523,所以cos =-1-sin2=-45,54232,所以sin 20,cos 20。所以sin 2=-1-cos2=-31010,cos 2=-1+cos2=-1010。所以tan 2=sin 2cos 2=3。所以tan 2+cos 2=3-1010。14.(2019福州调
9、考)若f(x)=cos(3x+)-3sin(3x+)为偶函数,则可以取的一个值为()。A.6B.3C.-6D.-3答案：D解析：f(x)=cos(3x+)-3sin(3x+)=-2sin3x+-6。因为f(x)为偶函数,所以只需使-6为2的奇数倍即可。因为-3-6=-2,所以可以取的一个值为-3。15.(2019苏州模拟)sin 10+sin 50-sin 70的值为。答案：0解析：sin 10+sin 50-sin 70=2sin 50+102cos 50-102-sin 70=2sin 30cos 20-sin 70=cos 20-cos 20=0。16.(2019衡阳八中模拟)已知sin
10、 +cos =2sin ,sin2=sin cos ,求证:2cos 2=cos 2。答案：证明:由题意,得2sin=sin+cos,sin2=sincos。2-2,得4sin2-2sin2=1。变形为1-2sin2=2-4sin2,则有cos 2=2cos 2。考点5给角求值问题17.计算:sin 105cos 75=()。A.12B.14C.22D.24答案：B解析：sin 105cos 75=sin 75cos 75=12sin 150=14,故选B。18.计算:3cos 12+sin 12=()。A.0B.-2C.6+22D.2答案：C解析：原式=232cos 12+12sin 12=
11、2cos 6cos 12+sin 6sin 12=2cos 12=2cos3-4=2cos 3cos 4+sin 3sin 4=22+64=6+22。故选C。19.计算:sin35-sin25cos35-cos25=。答案：-3解析：原式=2sin5cos30-2sin30sin5=-cos30sin30=-2cos 30=-232=-3。20.计算:3tan12-3sin12(4cos212-2)=。答案：-43解析：原式=3sin12-3cos12cos12sin122cos24=3sin12-3cos12sin24cos24=43(sin12cos60-cos12sin60)2sin24
12、cos24=43sin(-48)sin48=-43。21.计算:tan 11+tan 49+3tan 11tan 49=。答案：3解析：原式=2cos(30-20)-sin20cos20=2cos30cos20+2sin30sin20-sin20cos20=2cos30+cos20cos20=3。考点6给值求值问题22.已知2sin =1+cos ,则tan 2=()。A.12B.12或不存在 C.2D.2或不存在答案：B解析：2sin =1+cos ,即4sin 2cos 2=2cos22,当cos 2=0时,tan 2不存在,当cos 20时,tan 2=12。23.设是第二象限角,tan
13、 =-43,且sin 2cos 2,则cos 2=()。A.-55B.55C.35D.-35答案：A解析：因为是第二象限角,且sin 2cos 2,所以2为第三象限角,所以cos 20。因为tan =-43,所以cos =-35,所以cos 2=-1+cos2=-55。24.若sin(+)cos -cos(+)sin=0,则sin(+2)+sin(-2)=()。A.1B.-1C.0D.1答案：C解析：sin(+)cos -cos(+)sin =sin(+-)=sin =0,sin(+2)+sin(-2)=2sin cos 2=0。25.已知sin 2+cos 2=233,则cos 2=。答案：
14、79解析：因为sin 2+cos 2=233,所以1+sin =43,即sin =13,所以cos 2=1-2sin2=1-29=79。26.若tan+4=3,则5sin2-3sin cos +2cos2=。答案：75解析：tan =tan+4-4=tan+4-tan 41+tan+4tan 4=12,原式=5sin2-3sincos+2cos2sin2+cos2=5tan2-3tan+2tan2+1=75。第2课时简单的三角恒等变换(2)考点1辅助角公式的应用问题1.使函数f(x)=sin(2x+)+3cos(2x+)为奇函数的的一个值是()。A.6B.3C.2D.23答案：D解析：f(x)
15、=sin(2x+)+3cos(2x+)=2sin2x+3+。当=23时,f(x)=2sin(2x+)=-2sin 2x是奇函数。2.已知f(x)=sin x+3cos x(xR),函数y=f(x+)的图像关于直线x=0对称,则的值可以是()。A.2B.3C.4D.6答案：D解析：因为f(x)=2sinx+3,所以f(x+)=2sinx+3。因为f(x+)的图像关于直线x=0对称,所以+3=k+2(kZ),即=k+6(kZ)。所以可以是6。故选D。3.已知函数f(x)=(1+3tan x)cos x,则函数f(x)图像的一条对称轴方程是。答案：x=3(只要符合x=k+3,kZ即可,不唯一)解析：
16、f(x)=(1+3tan x)cos x=1+3sinxcosxcos x=cos x+3sin x=2sinx+6。由x+6=k+2(kZ)得x=k+3(kZ),故函数f(x)图像的对称轴方程为x=k+3(kZ)。4.已知,均为锐角,且cos(+)=sin(-),则tan =。答案：1解析：因为cos(+)=sin(-),所以cos cos -sin sin =sin cos -cos sin ,所以cos (sin +cos )=sin (cos +sin )。因为,均为锐角,所以sin +cos 0,所以cos =sin ,所以tan =1。5.已知tan 2=12,则sin+6的值为。
17、答案：3+4310解析：tan 2=12,sin =2sin 2cos 2=2sin 2cos 2sin22+cos22=2tan 21+tan22=2121+14=45,cos =cos22-sin22=cos22-sin22cos22+sin22=1-tan221+tan22=1-141+14=35。sin+6=sin cos 6+cos sin 6=4532+3512=3+4310。考点2三角变换之变角问题6.(2019天津南开区高一期末)sin 80cos 70+sin 10sin 70=()。A.-32B.-12C.12D.32答案：C解析：sin 80cos 70+sin 10si
18、n 70=cos 10cos 70+sin 10sin 70=cos(70-10)=cos 60=12,故选C。7.(2019甘肃定西通渭高三上期末)已知f(sin x)=cos 3x,则f(cos 10)的值为()。A.-32B.12C.12D.32答案：B解析：因为cos 10=sin 80,并且f(sin x)=cos 3x,所以f(cos 10)=f(sin 80)=cos 240=cos(180+60)=-cos 60=-12。因为cos 10=sin 100,所以f(cos 10)=f(sin 100)=cos 300=cos(360-60)=cos 60=12,故选B。8.tan
19、 20+4sin 20=。答案：3解析：原式=sin20cos20+4sin 20=sin20+2sin40cos20=sin20+2sin(60-20)cos20=sin20+3cos20-sin20cos20=3cos20cos20=3。9.函数y=sin(x+10)+cos(x+40)(xR)的最大值是。答案：1解析：令x+10=,则x+40=+30。y=sin +cos(+30)=sin +cos cos 30-sin sin 30=12sin +32cos =sin(+60)。ymax=1。10.已知sinx+6=33,则sin56-x+sin23-x=。答案：2+33解析：sin5
20、6-x+sin23-x=sin-56-x+cos22-3-x=sinx+6+1-sin2x+6=33+1-13=2+33。11.(2019河北张家口高三上期末)已知cos =17,cos(-)=1314,且02。(1)求tan 2的值;答案：解:(1)由cos =17,02,得sin =1-cos2=1-172=437。tan =sincos=4377=43,tan 2=2tan1-tan2=2431-(43)2=-8347。(2)求。答案：(2)由02,得0-2。cos(-)=1314,sin(-)=1-cos2(-)=1-13142=3314。由=-(-),得cos =cos-(-)=co
21、s cos(-)+sin sin(-)=171314+4373314=12,=3。考点3三角变换之变式问题12.已知sin 2=23,则cos2+4=()。A.16B.13C.12D.23答案：A解析：由倍角公式可得,cos2+4=1+cos2+22=1-sin22=1-232=16,故选A。13.在ABC中,若sin Asin B=cos2C2,则下列等式中一定成立的是()。A.A=BB.A=CC.B=CD.A=B=C答案：A解析：sin Asin B=cos2 C2=1+cosC2=12-12cos(A+B)=12-12(cos Acos B-sin Asin B),12cos Acos
22、B+12sin Asin B=12。cos(A-B)=1。0A,0B,-A-B,A-B=0,A=B。故选A。14.函数y=2cos2x+sin 2x的最小值是。答案：1-2解析：y=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=1+2sin2x+4,ymin=1-2。15.化简2+cos2-sin21=。答案：3cos 1解析：原式=1+cos2+(1-sin21)=2cos21+cos21=3|cos 1|。又010,原式=3cos 1。16.(2019湖北荆州高一调考)若sin3-=13,则cos3+2=。答案：-79解析：cos3+2=cos 26+=cos 22-3-=c
23、os-23-=-cos 23-=-1-2sin23-=-79。17.(2019山东潍坊高一调考)已知cos-4=45,0,4,则cos2sin+4=。答案：65解析：因为cos-4=45,0,4,所以sin-4=-35,sin4-=35。所以cos2sin+4=sin2+2sin+4=2cos+4=2sin2-+4=2sin4-=65。考点4角的范围在三角变换中的应用问题18.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根分别为tan ,tan ,且,-2,2,则tan +2的值是()。A.12B.-2C.43D.12或-2答案：B解析：由题意知tan+tan=-4a,tantan=3a+1
24、,tan(+)=tan+tan1-tantan=-4a1-3a-1=43,tan(+)=2tan +21-tan2+2=43,tan +2=12或tan +2=-2。a1,tan +tan =-4a0,tan 0,tan 0。,-2,2,-2,0,+2-2,0,tan +20,cos 20。故原式=12+12cos2=12+12cos=cos22=cos 2=-cos 2。20.(2019湖北恩施高一调考)已知sin =-1213,32,则tan 2=。答案：-32解析：因为sin =-1213,32,所以cos =-513,所以tan =125。因为,32,所以22,34,所以tan 20。
25、因为tan =2tan 21-tan22,所以2tan 21-tan22=125,即6tan22+5tan 2-6=0,解得tan 2=-32或tan 2=23(舍去)。21.已知sin x-sin y=-23,cos x-cos y=23,x,y为锐角且xy,则sin(x+y)=。答案：1解析：sin x-sin y=-23,cos x-cos y=23,两式相加,得sin x+cos x=sin y+cos y,sin 2x=sin 2y。又x,y均为锐角且xy,2x=-2y,x+y=2,sin(x+y)=1。22.已知,为锐角,cos =17,sin(+)=5314,则角=。答案：3解析
26、：为锐角,cos =17,sin =437。又为锐角,0+。sin(+)=5314sin ,2+,cos(+)=-1114,cos =cos(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin =-111417+5314437=12。为锐角,=3。23.已知sin ,cos 是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根,则1+cos2-sin21-sin2-cos2+1-sin2-cos21+cos2-sin2=。答案：2+1解析：原式=2cos2-2sincos2sin2-2sincos+2sin2-2sincos2cos2-2sincos=-cossin-sincos=-1sincos。由一元二
27、次方程根与系数的关系得sin+cos=a,sincos=a,根据同角三角函数基本关系式可得(sin +cos )2=a2=1+2sin cos =1+2a,即a2-2a+1=0。解得a=12,又因为-2sin +cos 2,所以a=1-2,所以-1sincos=-1a=2+1。24.(2019辽宁抚顺中学高三上期末)已知234,cos(-)=1213,sin(+)=-35,求cos 2的值。答案：234,-34-2。234,-14-,-0,0-4。cos(-)=1213,sin(-)=1-144169=513。234,234,+32。sin(+)=-35,cos(+)=-1-925=-45。c
28、os 2=cos(-)+(+)=cos(-)cos(+)-sin(-)sin(+)=1213-45-513-35=-3365。考点5三角恒等变换与三角函数性质的综合问题25.(2019石家庄质量检测)已知函数f(x)=asin(1-a)x+cos(1-a)x的最大值为2,则f(x)的最小正周期为。答案：解析：f(x)=a+1sin(1-a)x+,由已知得a+1=2,a=3。f(x)=2sin(-2x+),T=2|-2|=。26.(2019广东湛江一中高二期末)已知函数f(x)=cos(+x)cos32-x-3cos2x+32。(1)求f(x)的最小正周期和最大值;答案：解:f(x)=(-cos
29、 x)(-sin x)-31+cos2x2+32=12sin 2x-32cos 2x=sin2x-3。(1)f(x)的最小正周期为,最大值为1。(2)求f(x)在6,23上的单调递增区间。答案：(2)令2k-22x-32k+2(kZ),即k-12xk+512(kZ),所以f(x)在6,512上单调递增,即f(x)在6,23上的单调递增区间是6,512。27.(2019苏州模拟)已知tan =-13,cos =55,(0,)。(1)求tan(+)的值;答案：解:(1)cos =55,(0,),sin =255,tan =2。tan(+)=tan+tan1-tantan=1。(2)求函数f(x)=
30、2sin(x-)+cos(x+)的最大值。答案：(2)tan =-13,(0,),sin =1010,cos =-31010。f(x)=2(sin xcos -cos xsin )+cos xcos -sin xsin =-355sin x-55cos x+55cos x-255sin x=-5sin x。又-1sin x1,f(x)的最大值为5。28.(2019浙江宁波高三期末)已知函数f(x)=2sin xcos x+1-2sin2x。(1)求f(x)的最小正周期;答案：解:(1)因为f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin2x+4,所以f(x)的最小正周期为。(2)求f(x)在区间-3,4上的最大值与最小值。答案：(2)因为-3x4,所以-5122x+434。当2x+4=2,即x=8时,f(x)取得最大值2;当2x+4=-512,即x=-3时,f(x)min=f-3=sin-23+cos-23=-3+12,即f(x)的最小值为-3+12。
