1、24.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角目标 1.会用坐标表示平面向量的数量积2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角3.能够利用坐标判断向量的垂直关系重点 用坐标表示平面向量的数量积难点 用坐标求向量的模及两向量的夹角知识点一 平面向量数量积的坐标表示 填一填设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和答一答1公式ab|a|b|cosa，b与abx1x2y1y2有什么区别与联系？提示：两个公式都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式的差异，可以相互推导；若题目给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用ab|a
2、|b|cosa，b求解，若已知两向量的坐标，则可选用abx1x2y1y2求解知识点二平面向量长度(模)的坐标表示 填一填1平面向量长度(模)的坐标公式已知向量a(x，y)，由于|a|，所以|a|.其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根2平面内两点间的距离公式已知原点O(0,0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，于是|.其含义是：向量的长度(模)等于A，B两点之间的距离答一答2对于任意的非零向量a(x，y)，如何用坐标表示与向量a同向的单位向量？提示：记向量a的单位向量为a0，则a0，且|a|，所以a0(x，y)(，)，此为与
3、向量a(x，y)同向的单位向量知识点三两向量垂直的坐标表示 填一填设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.答一答3已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab与ab的坐标表示有何区别？提示：若abx1y2x2y1，即x1y2x2y10.若abx1x2y1y2，即x1x2y1y20.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反知识点四平面向量夹角的坐标表示 填一填已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，其夹角为，则cos(0)答一答4两向量a与b满足ab0，a与b的夹角一定是钝角吗？提示：不一定，a与b夹角可能是180.类型一平面向
4、量数量积的坐标运算 例1已知向量a(1,3)，b(2,5)，求ab，|3ab|，(ab)(2ab)分析运用向量数量积坐标运算的法则及相关性质求解解ab123517.3a3(1,3)(3,9)，b(2,5)，3ab(1,4)，|3ab|.ab(3,8)，2a(2,6)，2ab(2,6)(2,5)(0,1)，(ab)(2ab)30818.进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.变式训练1(1)已知向量a(1，1)，b(2，x)若ab1，则x(D)A1 BC. D
5、1(2)已知向量a(1,1)，b(2，3)，若a2b与a垂直，则实数等于1.解析：(1)ab2x1，解得x1.故选D.(2)方法1：a2b(，)2(2，3)(4，6)，由于(a2b)a(a2b)a0，(4)(6)0，1.方法2：由于(a2b)a(a2b)a0，即a22ab，从而(11)2(1,1)(2，3)，即22，1.类型二向量的模的问题 例2(1)向量与向量a(3,4)的夹角为，|10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为()A(7,8) B(9，4)C(5,10) D(7，6)(2)已知向量a在向量b(1，)方向上的投影为2，且|ab|，则|a|_.解析(1)向量与向量a(3,4)的
6、夹角为，设kak(3,4)(3k,4k)，(k0，又|2，所以2，联立解得x14且y26.所以x5且y4，故B(5,4)，选D.类型三向量的夹角与垂直问题 例3(1)已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，则a与c的夹角为()A30 B60C120 D150(2)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab与a垂直，则m_.解析(1)由ab10得(cb)acabaca10，ca.设a与c的夹角为，则cos.0，180，120.(2)因为ab(m1,3)，ab与a垂直，所以(m1)(1)320，解得m7.答案(1)C(2)7根据向量的坐标表示求a与b的夹角时，需要先求出ab及|
7、a|，|b|，再求夹角的余弦值，从而确定.变式训练3平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m2.解析：方法1：由已知得c(m4,2m2)，因为cosc，a，cosc，b，所以，又由已知得|b|2|a|，所以2cacb，即2(m4)2(2m2)4(m4)2(2m2)，解得m2.方法2：易知c是以ma，b为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以该平行四边形为菱形，又由已知得|b|2|a|，故m2.1若a(2，3)，b(x,2x)，且3ab4，则x等于(C)A3 BC D3解析：3ab3(2x6x)12x4，x.3
8、ab3(2x6x)12x4，x.2若a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为(C)A. BC. D解析：|a|cos，故选C.3若a(5，7)，b(1,2)，且(ab)b，则实数的值为.解析：由题意，得ab(5，72)，由(ab)b，得1(5)2(72)0，则.4设向量a与b的夹角为，且a(3,3)，2ba(1，1)，则cos1.解析：ba(1，1)(1,1)，则ab6.又|a|3，|b|，cos1.5已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b和c；(2)若m2ab，nac，求向量m与向量n的夹角的大小解：(1)ab，3x360.x12.ac，34
9、4y0.y3.b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)，设m，n的夹角为，则cos.0，即m，n的夹角为.本课须掌握的三大问题1向量的坐标表示简化了向量数量积的运算为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力3注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.学科素养
10、培优精品微课堂平面向量数量积与三角函数的交汇问题开讲啦 用含有三角函数的坐标表示向量，就使得向量与三角函数建立了密切的内在联系通过向量的坐标运算，将向量条件转化为三角函数关系是解题的第一步，根据题目要求，求解余下的三角函数问题是解题的第二步，利用这两步求解的策略，可将向量与三角函数的综合问题转化为两个基本问题解决典例已知点A(2,0)，B(0,2)，C(cos，sin)(其中0)，O为坐标原点(1)若|，求与的夹角；(2)若，求tan的值解(1)由已知(2cos，sin)|，(2cos)2sin27.即44coscos2sin27.cos，又(0，)，sin.从而.又(0,2)，cosBOC，
11、BOC.故与的夹角为.(2)由已知得，(cos2，sin)，(cos，sin2)，0，cos(cos2)sin(sin2)0.sincos.两边平方得，(sincos)2，2sincos0.2sincos(sin2cos2)0.即3sin28sincos3cos20.两边同除以cos2，得3tan28tan30.tan.2sincos0，cos0，sincos，1，即tan1，故舍去故tan为所求针对训练已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，c(1,0)(1)求向量(bc)的长度的最大值；(2)设，且a(bc)，求cos的值解：(1)b(cos，sin)，c(1,0)，bc(cos1，sin)，|bc|2(cos1)2sin22(1cos)1cos1，0|bc|24.0|bc|2.当cos1时，|bc|2.(bc)的长度的最大值为2.(2)，a.又b(cos，sin)，c(1,0)，a(bc)(cos1，sin)cossin.a(bc)，a(bc)0，即cossin1.sin1cos.sin212coscos2.cos(cos1)0.解之得cos0或cos1.经检验cos0或cos1即为所求
