1、23.4平面向量共线的坐标表示目标 1.记住两个向量共线的坐标表示2.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题重点 向量共线的坐标表示难点 向量共线的坐标表示的应用知识点两个向量共线的坐标表示 填一填(1)向量a,b共线的坐标表示设a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1y2x2y10.(2)向量共线的坐标表示的推导设a(x1,y1),b(x2,y2)0,则abab(R)上式若用坐标表示,可写为ab(x1,y1)(x2,y2),即abx1y2x2y10.设a(x1,y1),b(x2,y2)0时,abx1y2x2y10.综上,向量共线的坐标表示为abx1y2x2y10.答一答1若a(x1,y
2、1),b(x2,y2),abx1y2x2y10,是否对于任意两向量都成立?还需注明b0吗?提示:在共线向量定理中abab(R)必需注明b0,而在“本问”中当b0时也成立,故不需注明b0.2当两个非零向量共线时,通过坐标如何判断它们是同向还是反向?提示:当两个向量的对应坐标同号或同为零时,同向当两个向量的对应坐标异号或同为零时,反向例如,向量(1,2)与(1,2)反向;向量(1,0)与(3,0)同向3若向量a(x,1),b(4,x),则当x2时,a与b共线,且方向相同解析:a(x,1),b(4,x),ab,x240,x2,当x2时,a与b方向相反当x2时,a与b共线且方向相同类型一向量共线的坐标
3、表示 例1已知a(1,2),b(3,2),当k为何值时,kab与a3b平行?平行时它们是同向还是反向?分析先计算出kab与a3b的坐标,然后利用向量共线的坐标表示即可求k,再根据符号确定方向解因为a3b(1,2)3(3,2)(10,4)kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2),又(kab)(a3b),故4(k3)10(2k2),即k.这时kab,且a3b与ab的对应坐标异号,故当k时,kab与a3b平行,并且是反向的设a(x1,y1),b(x2,y2),其中b0.当且仅当x1y2x2y10时,向量a,b共线对条件的理解有两方面的含义:由x1y2x2y10,可判定a,b共线;反之,若a,b共
4、线,则x1y2x2y10.变式训练1(1)设向量a(2,4)与向量b(x,6)共线,则实数x(B)A2 B3C4 D6(2)已知点A(1,3),B(4,1),则与向量同方向的单位向量为(A)A. BC. D解析:(1)由向量a(2,4)与向量b(x,6)共线,可得4x26,解得x3.(2)由已知得(3,4),所以|5,因此与同方向的单位向量是.类型二 三点共线问题 例2(1)已知(3,4),(7,12),(9,16),求证:A,B,C三点共线;(2)设向量(k,12),(4,5),(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线?解(1)证明:(4,8),(6,12),即与共线又与有公共点A,A
5、,B,C三点共线(2)若A,B,C三点共线,则,共线,(4k,7),(10k,k12),(4k)(k12)7(10k)0.解得k2或k11.一般地,把三点共线问题转化成向量共线问题,而向量共线常用的判断方法有两种:一是直接用;二是利用坐标运算.变式训练2已知(1,1),(3,1),(a,b)(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;(2)若2,求点C的坐标解:(1)由题意知,(2,2),(a1,b1),若A,B,C三点共线,则,即2(b1)(2)(a1)0,故ab2.(2)2,(a1,b1)(4,4),即C(5,3)类型三 利用向量共线解决几何问题 例3如图,已知直角梯形ABCD中,ADAB
6、,AB2AD2CD,过点C作CEAB于E,M为CE的中点,用向量的方法证明:(1)DEBC;(2)D,M,B三点共线证明如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,令|1,则|1,|2.CEAB,而ADDC,四边形AECD为正方形可求得各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(1,1),A(1,0)(1)(1,1)(0,0)(1,1),(0,1)(1,0)(1,1),即DEBC.(2)连接MB,MD,M为EC的中点,M(0,),(1,1)(0,)(1,),(1,0)(0,)(1,),.又MD与MB有公共点M,D,M,B三点共线(1)向量共线在几
7、何中的应用可分为两个方面:已知两向量共线,求点或向量的坐标;证明或判断三点共线、直线平行.(2)解题时要注意联系平面几何的相关知识,由两向量共起点或共终点确定三点共线,由两向量无公共点确定直线平行.变式训练3如图所示,已知点A(2,0),B(2,2),C(1,3),求AC和BO的交点D的坐标解:因为,共线,所以可设(2,2),R,从而(22,2),(1,3),由,共线(平行),可知(22)32(1)0,所以,所以(2,2)(,),所以点D的坐标为(,)1已知向量a(x,5),b(5,x),两向量方向相反,则x(A)A5B5C1 D1解析:当两向量对应坐标异号或同为零时方向相反易知选A.2若a(
8、6,6),b(5,7),c(2,4),则下列命题成立的是(C)Aac与b共线 Bbc与a共线Ca与bc共线 Dab与c共线解析:由已知得bc(3,3),a(6,6),63360.a与(bc)共线3已知向量a(,1),b(0,1),c(k,)若a2b与c共线,则k1.解析:a2b(,1)(0,2)(,3),a2b与c共线,存在实数使(,3)(k,),即(,3)(k,),4已知向量a(2x,7),b(6,x4),当x3时,ab;当x7时,ab且ab.解析:若ab,则x3.若ab,则2x(x4)420,解得x7或x3.当x3时,ab,x7时,ab且ab.5已知向量(3,4),(6,3),(5m,3m
9、),若点A,B,C能构成三角形,求实数m应满足的条件解:(6,3)(3,4)(3,1),(5m,3m)(3,4)(2m,1m)由于点A,B,C能构成三角形,则与不共线,所以3(1m)(2m)0,解得m.本课须掌握的两大问题1对向量共线条件的理解(1)已知a(x1,y1),b(x2,y2),由x1y2x2y10成立,可判断a与b共线;反之,若a与b共线,它们的坐标应满足x1y2x2y10.(2)在讨论向量共线时,规定零向量可以与任一向量共线,故在x2y20的条件下,a与b共线的条件可化为,即两向量共线的条件为相应坐标成比例2三点共线问题(1)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则A、B、C三点共线的条件为(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)0.(2)若已知三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种方法:直接利用上述条件,计算(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)是否为0.任取两点构成向量,计算出两向量如,再通过两向量共线的条件进行判断