1、23.4平面向量共线的坐标表示目标 1.记住两个向量共线的坐标表示2.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题重点 向量共线的坐标表示难点 向量共线的坐标表示的应用知识点两个向量共线的坐标表示 填一填(1)向量a，b共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.(2)向量共线的坐标表示的推导设a(x1，y1)，b(x2，y2)0，则abab(R)上式若用坐标表示，可写为ab(x1，y1)(x2，y2)，即abx1y2x2y10.设a(x1，y1)，b(x2，y2)0时，abx1y2x2y10.综上，向量共线的坐标表示为abx1y2x2y10.答一答1若a(x1，y
2、1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10，是否对于任意两向量都成立？还需注明b0吗？提示：在共线向量定理中abab(R)必需注明b0，而在“本问”中当b0时也成立，故不需注明b0.2当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它们是同向还是反向？提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向例如，向量(1,2)与(1，2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向3若向量a(x,1)，b(4，x)，则当x2时，a与b共线，且方向相同解析：a(x,1)，b(4，x)，ab，x240，x2，当x2时，a与b方向相反当x2时，a与b共线且方向相同类型一向量共线的坐标
3、表示 例1已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？分析先计算出kab与a3b的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求k，再根据符号确定方向解因为a3b(1,2)3(3,2)(10，4)kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，又(kab)(a3b)，故4(k3)10(2k2)，即k.这时kab，且a3b与ab的对应坐标异号，故当k时，kab与a3b平行，并且是反向的设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b共线对条件的理解有两方面的含义：由x1y2x2y10，可判定a，b共线；反之，若a，b共
4、线，则x1y2x2y10.变式训练1(1)设向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x(B)A2 B3C4 D6(2)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为(A)A. BC. D解析：(1)由向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，可得4x26，解得x3.(2)由已知得(3，4)，所以|5，因此与同方向的单位向量是.类型二 三点共线问题 例2(1)已知(3,4)，(7,12)，(9,16)，求证：A，B，C三点共线；(2)设向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？解(1)证明：(4,8)，(6,12)，即与共线又与有公共点A，A
5、，B，C三点共线(2)若A，B，C三点共线，则，共线，(4k，7)，(10k，k12)，(4k)(k12)7(10k)0.解得k2或k11.一般地，把三点共线问题转化成向量共线问题，而向量共线常用的判断方法有两种：一是直接用；二是利用坐标运算.变式训练2已知(1,1)，(3，1)，(a，b)(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；(2)若2，求点C的坐标解：(1)由题意知，(2，2)，(a1，b1)，若A，B，C三点共线，则，即2(b1)(2)(a1)0，故ab2.(2)2，(a1，b1)(4，4)，即C(5，3)类型三 利用向量共线解决几何问题 例3如图，已知直角梯形ABCD中，ADAB
6、，AB2AD2CD，过点C作CEAB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DEBC；(2)D，M，B三点共线证明如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令|1，则|1，|2.CEAB，而ADDC，四边形AECD为正方形可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1)，A(1,0)(1)(1,1)(0,0)(1,1)，(0,1)(1,0)(1,1)，即DEBC.(2)连接MB，MD，M为EC的中点，M(0，)，(1,1)(0，)(1，)，(1,0)(0，)(1，)，.又MD与MB有公共点M，D，M，B三点共线(1)向量共线在几
7、何中的应用可分为两个方面：已知两向量共线，求点或向量的坐标；证明或判断三点共线、直线平行.(2)解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行.变式训练3如图所示，已知点A(2,0)，B(2,2)，C(1,3)，求AC和BO的交点D的坐标解：因为，共线，所以可设(2，2)，R，从而(22,2)，(1,3)，由，共线(平行)，可知(22)32(1)0，所以，所以(2，2)(，)，所以点D的坐标为(，)1已知向量a(x,5)，b(5，x)，两向量方向相反，则x(A)A5B5C1 D1解析：当两向量对应坐标异号或同为零时方向相反易知选A.2若a(
8、6,6)，b(5,7)，c(2,4)，则下列命题成立的是(C)Aac与b共线 Bbc与a共线Ca与bc共线 Dab与c共线解析：由已知得bc(3,3)，a(6,6)，63360.a与(bc)共线3已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b与c共线，则k1.解析：a2b(，1)(0，2)(，3)，a2b与c共线，存在实数使(，3)(k，)，即(，3)(k，)，4已知向量a(2x,7)，b(6，x4)，当x3时，ab；当x7时，ab且ab.解析：若ab，则x3.若ab，则2x(x4)420，解得x7或x3.当x3时，ab，x7时，ab且ab.5已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m
9、)，若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件解：(6，3)(3，4)(3,1)，(5m，3m)(3，4)(2m,1m)由于点A，B，C能构成三角形，则与不共线，所以3(1m)(2m)0，解得m.本课须掌握的两大问题1对向量共线条件的理解(1)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，由x1y2x2y10成立，可判断a与b共线；反之，若a与b共线，它们的坐标应满足x1y2x2y10.(2)在讨论向量共线时，规定零向量可以与任一向量共线，故在x2y20的条件下，a与b共线的条件可化为，即两向量共线的条件为相应坐标成比例2三点共线问题(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则A、B、C三点共线的条件为(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)0.(2)若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：直接利用上述条件，计算(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)是否为0.任取两点构成向量，计算出两向量如，再通过两向量共线的条件进行判断