1、第三讲不等式、线性规划、计数原理与二项式定理研热点（聚焦突破）类型一 不等式的性质与解法1不等式的同向可加性 2不等式的同向可乘性 3不等式的解法一元二次不等式ax2bxc0(或0，其解集可简记为：同号两根之外，异号两根之间例1(1)(2012年高考湖南卷)设ab1，c；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是()A BC D(2)(2012年高考江苏卷)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)b1， .又c ，故正确构造函数yxc.cb1，acb1，c0，acbc1.ab1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，即logb(ac)log
2、a(bc)，故正确(2)通过值域求a，b的关系是关键由题意知f(x)x2axb(x)2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)(x)2.又f(x)c，(x)2c，即x0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_解析：利用“三个二次”之间的关系x2ax2a0在R上恒成立，a242a0，0a8.答案：(0，8) 类型二 线性规划求目标函数最值的一般步骤(1)作出可行域；(2)借助图形确定函数最值的取值位置，并求最值例2(2012年高考课标全国卷)已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在ABC内部，则zxy的取值范围是()A(1，2) B(0，2)C(
3、1，2) D(0，1)解析利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围如图，根据题意得C(1，2)作直线xy0，并向左上或右下平移，过点B(1，3)和C(1，2)时，zxy取范围的边界值，即(1)2z13，1z0，y0，由x3y5xy得()1.3x4y(3x4y)()(49)()25(当且仅当x2y时取等号)，3x4y的最小值为5.答案C跟踪训练已知x0，y0，若m22m恒成立，则实数m的取值范围是()Am4或m2 Bm2或m4C2m4 D4m0，y0，所以28.要使原不等式恒成立，只需m22m8，解得4m2.答案：D 类型四 排列与组合1加法计数原理与乘法计数原理针对的分别是“分类”与“分步”问
4、题2排列数A.组合数C.3组合数性质(1)CC；(2)CCC.例4(2012年高考北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A24 B18C12 D6解析根据所选偶数为0和2分类讨论求解当选0时，先从1，3，5中选2个数字有C种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C种方法，剩余1个数字排在首位，共有CC6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有C种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C种方法，其余2个数字全排列，共有CCA12(种)方法依分类加法计数原理知共有61218(个)奇数答案B 跟踪训练(2012年高考
5、山东卷)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张不同取法的种数为()A232 B252C472 D484解析：利用分类加法计数原理和组合的概念求解分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C3C22012208(种)由分类加法计数原理知不同的取法有264208472(种)答案：C 类型五 二项式定理1二项展开式的通项：Tk1Cankbk(k0，1，n)2二项式系数为C，C，C，C(r0，1，n)3用赋值法研究展开式中各项系数之和 例5(2012年高考
6、安徽卷)(x22)( 1)5的展开式的常数项是()A3 B2 C2 D3 解析利用二项展开式的通项求解二项式(1)5展开式的通项为：Tr1C()5r(1)rCx2r10(1)r.当2r102，即r4时，有x2Cx2(1)4C(1)45；当2r100，即r5时，有2Cx0(1)52.展开式中的常数项为523，故选D.答案D 跟踪训练(2012年郑州模拟)在二项式(x2)n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()A32 B32C0 D1解析：依题意得所有二项式系数的和为2n32，解得n5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于(12)50，选C.答案：C 析典题（预测高考
7、）高考真题【真题】(2012年高考江苏卷)已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，clnbacln c，则的取值范围是_【解析】由题意知 作出可行域(如图所示)由得a，bc.此时()max7.由得a，b.此时()mine.所以e，7【答案】e，7 【名师点睛】本题主要考查了不等式的性质、线性规划的应用等知识，命题角度创新，难度较大，解决此题的关键是将问题转化为线性规划问题，通过数形结合思想来解决考情展望高考对线性规划的考查比较灵活，多以选择、填空形式出现，主要考查利用线性规划求目标函数最值及应用常涉及距离型、斜率型、截距型有时与函数、圆、平面向量等知识相综合名师押题【押题】如果点P在不等式组所确定的平面区域内，点Q在曲线(x2)2(y2)21上，那么|PQ|的最小值为() A1 B2 C3 D6【解析】画出可行域，如图所示，点Q在圆(x2)2(y2)21上，易知|PQ|的最小值为圆心(2，2)到直线4x3y10的距离减去圆的半径1，即|PQ|min12，故选B.【答案】B
