1、一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1过点(1,1),且与直线yx1平行的直线方程为()Axy0 Bxy0Cxy20 Dxy20解:所求直线斜率为1,由点斜式得y1(x1),即xy20.故选C.2()双曲线x21的离心率大于的充分必要条件是()Am Bm1Cm1 Dm2解:依题意知e,解得m1.故选C.3直线l1:x2ay10和l2:2axy10(aR)的位置关系是()A互相平行 B互相垂直C关于原点对称 D关于直线yx对称解:a0时,(2a)1,l1l2;a0时,l1:x1,l2:y1,l1l2.综上知,故选B.4()直线x2y
2、50被圆x2y22x4y0截得的弦长为()A1 B2 C4 D4解:易知圆的标准方程为(x1)2(y2)25,圆心为(1,2),半径r,则圆心(1,2)到直线x2y50的距离d1,弦长l24.故选C.5如果直线(m2)x(m23m2)ym2与y轴平行,则m()A1或2 B1C1或2 D2解:直线与y轴平行,m23m20,解得m1或2.当m1时,直线方程为x1;当m2时,方程(m2)x(m23m2)ym2不表示直线,舍去综上知m1.故选B.6若圆心在x轴上,半径长为的圆C位于y轴左侧,且与直线x2y0相切,则圆C的方程是()A(x5)2y25 B(x5)2y25C(x)2y25 D(x)2y25
3、解:设圆的方程为(xa)2y25(a),依题意圆心(a,0)到直线x2y0的距离等于,即,得a5,圆的方程为(x5)2y25.故选A.7已知圆C:x2y24x4y100,则圆C上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是()A36 B18 C6 D5解:圆C的方程可化为(x2)2(y2)218,圆心C(2,2),半径r3.易知圆心C到直线xy140的距离为d53,直线与圆相离,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r6.故选C.8已知一个正三角形的三个顶点都在抛物线y24x上,其中一个在坐标原点,则这个三角形的面积是()A BC24 D48解:如图,抛物线y24x关于x轴对称,正三角形
4、是轴对称图形,A,B两点关于x轴对称可设A,B(y10)AOB是正三角形,|OA|AB|,即|2y1|,解之得y48.SAOB|2y1|2y48.故选D.9()设双曲线1(a0,b0)两焦点为F1,F2,点Q为双曲线上除顶点外的任一点,过焦点F1作F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则P点的轨迹是()A椭圆的一部分 B双曲线的一部分C抛物线的一部分 D圆的一部分解:设点Q在双曲线的右支上(如图),延长QF2,交F1P的延长线于点M,连接OP,则有,P为F1M的中点,()()a,且P点不能落在x轴上,故P点的轨迹是圆的一部分故选D.10()已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的
5、直线交椭圆E于A,B两点若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解:设A,B,则有两式相减得0,依题意知x1x22,y1y22,代入上式得,由此可得直线AB的方程为y(x3),将点代入得,又由椭圆的性质知a2b2c29,解得a218,b29,椭圆E的方程为1.故选D.11()过点(,0)引直线l与曲线y相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于()A B C D解:y表示圆心在原点,半径为1的上半圆(如图)SAOB sinAOBsinAOB,当sinAOB1,即AOB时,SAOB取得最大值,此时设直线l的斜率为k(k0),则其直
6、线方程为yk(x),即kxyk0,圆心到直线l的距离dsin45,解得k.又k0,b0),由题意知F1(,0),F2(,0),且2得2|AF1|AF2|4.由双曲线的定义知|AF2|AF1|2a,|AF1|2|AF2|2(|AF2|AF1|)22|AF1|AF2|4a2412,解得a.e.故选D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上13()直线l1过点(2,0)且倾斜角为30,直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为_解:由题意得直线l1的方程为y(x2),由l2l1得直线l2的斜率为,直线l2的方程为y(x2)联立得即直线l1与
7、直线l2的交点坐标为(1,)故填(1,)14()已知圆C:x2y26x80,若直线ykx与圆C相切,且切点在第四象限,则k_解:圆C的标准方程为(x3)2y21,圆心(3,0),半径r1.要使直线ykx与圆C相切,且切点在第四象限,只须解得k.故填.15()抛物线x22py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p_解:设点B在双曲线的右支上,AB的中点为C,由题意知p,ABF为等边三角形,tan30p,从而点B的坐标为.又点B在双曲线1上,1,得p6或6(舍去)故填6.16设A1,A2是椭圆1的长轴左、右顶点,P1,P2是垂直于A1A2的弦的端点,则直线
8、A1P1与A2P2的交点P的轨迹方程为_解:设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x1,y1),易求A1(3,0),A2(3,0),则直线A1P1的方程为y(x3),直线A2P2的方程为y(x3),由得y2(x29)点P1在椭圆上,1,得y,即.把代入整理得1,这就是点P的轨迹方程故填1.三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知两直线l1:xysin10和l2:2xsiny10,试求的值,使得:(1)l1l2;(2)l1l2.解:(1)由sin,得sin.由sin,得k(kZ)k(kZ)时,l1l2.(2)由2sinsin0,得sin0,
9、k,k(kZ)时,l1l2.18(12分)()已知圆C:x2y24x6y120,点A(3,5)(1)求过点A的圆的切线方程;(2)O点是坐标原点,连结OA,OC,求AOC的面积S.解:(1)易知圆C的方程为(x2)2(y3)21.当切线的斜率不存在时,所求为直线x3.当切线的斜率k存在时,设切线为y5k(x3),即ykx53k,由1,得k,代入得yx.过点A的圆的切线方程为x3和yx.(2),lAO:5x3y0,点C到直线AO的距离d,AOC的面积Sd.19(12分)已知直线l:mx(m21)y4m,mR,圆C:x2y28x4y160.直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?解:
10、假设直线l能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧,设直线l与圆C交于A,B两点,则ACB120.圆C:(x4)2(y2)24,圆心C(4,2)到直线l的距离为1.故有1,整理得3m45m230.524330,b0),设Q(x1,y1),则(x1c,y1),Sy1c,y1.又(c,0)c(x1c)1,x1c.c0,当c1时最小x12,点Q的坐标为.点Q在双曲线上,由解得故所求双曲线方程为1,即2x22y21.21(12分)()如图,抛物线E:y24x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求;(2)
11、若,求圆C的半径解:(1)抛物线y24x的准线l的方程为x1.由点C在抛物线E上,且点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),点C到准线l的距离d2.又,22.(2)设C,则圆C的方程为(yy0)2y,即x2xy22y0y0.由x1得y22y0y10,设M(1,y1),N(1,y2),则由得4,14,解得y0,此时0.圆心C的坐标为或,即圆C的半径为.22(12分)()已知椭圆E:1(ab0)的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.(1)求椭圆E的方程;(2)如图,设椭圆E的上、下顶点分别为A1,A2,P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,直线PA1,PA2分别交x轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值解:(1)由e,得a2b,又2a2b6,即ab3,a2,b1,椭圆E的方程为y21.(2)证明:A1(0,1),A2(0,1),设P(x0,y0),M(x1,0),N(x2,0),G,则直线PA2的方程为y1x,P是椭圆上异于A1,A2的一点,y01.令y0,得x1.同理得x2.直线OT与过点M,N的圆G相切,|OT|2|OG|2|TG|2.又|MG|TG|,|OT|2|OG|2|MG|22h22h2x1x2.又y1,y1.|OT|24,|OT|2,即线段OT的长为定值2.